Глава 5. МОДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

5.1. Определения

1. Представляется интересным и важным исследовать распределения, соответствующие конечному числу отличных от нуля кумулянтов. Такие распределения, являясь в определенном смысле простейшими, должны служить хорошей моделью тех вероятностных распределений, высшие кумулянты которых достаточно малы.

Вместе с этим распределения, обладающие конечным набором кумулянтов, имеют весьма характерные особенности. Их рассмотрению и посвящена настоящая глава.

Будем говорить, что случайная величина обладает модельным распределением -го порядка, если кумулянты этой случайной величины xs равны нулю для всех .

Модельным распределением первого порядка является, очевидно, распределение детерминированной величины, поскольку для таких величин все кумулянты, кроме первого, равны нулю. Модельное распределение второго порядка есть не что иное, как гауссово распределение.

Модельные распределения порядка выше второго будем называть негауссовыми модельными распределениями. Модельное распределение четвертого порядка, все кумулянты которого, начиная с пятого, равны нулю, будем называть эксцессным распределением.

2. «Характеристическая функция» модельного распределения -го порядка по определению равна

Тем самым «плотность вероятности» модельного распределения -го порядка определяется интегралом

(5.1.1)

Этот интеграл при не принадлежит к тем, которые выражаются через элементарные функции, и требует табулирования. Вместе с этим, как это следует из § 3.1, формула (5.1.1) представляет нам «плотность вероятности» модельного распределения в канонической форме:

Поэтому согласно (3.1.4) оно удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений :