13.2. Преобразование спектров дифференцирующей системой
1. Обобщим теперь результаты, полученные в предыдущем параграфе, на случай, когда матрица преобразования зависит от оператора дифференцирования 
, т. е. когда преобразование 
описывается системой с дифференциальной правой частью
(13.2.1)
где 
— стационарный векторный процесс.
Чтобы отыскать спектр мощности выходной совокупности случайных процессов, найдем прежде всего корреляционную матрицу вектора 
. Для этого рассмотрим вектор, эрмитово сопряженный 
:
(13.2.2)
Здесь 
. Запись 
следует истолковывать как такой вектор, компонента которого равна
(13.2.3)
Следовательно, тот факт, что в левой части (13.2.2) оператор 
стоит после функции, на которую он действует, следует понимать лишь как формальную запись, при раскрытии которой оператор всегда будет стоять перед функцией.
Составляя произведение (13.2.1) на (13.2.2) и усредняя, получим
Вследствие стационарности 
это выражение принимает следующий окончательный вид:
(13.2.4)
Для сопряженной корреляционной матрицы будем иметь
2. Теперь уже нетрудно записать выражение и для спектральной матрицы случайного стационарного вектора 
, выполнив преобразование Фурье (13.2.4):
(13.2.5)
Это же самое выражение можно получить и по-другому, если использовать символический метод, согласно которому
Если принять во внимание, что [см. (8.2.10)]
то нетрудно получить выражения для четной и нечетной компонент спектральной матрицы процесса 
:
3. Рассмотрим теперь преобразование высших спектров, ограничившись для простоты случаем скалярной переменной
(13.2.6)
и рассматривая, как и ранее, случайный стационарный процесс 
, спектральные плотности высших порядков которого 
полагаем заданными. Спектры высших порядков для случайного стационарного процесса 
легко могут быть определены на основании результатов § 9.4 и 9.2. Заменяя 
на 
, а 
на из (12.2.5) находим следующую основную формулу:
(13.2.7)
Так, например,
Формула (13.2.7) показывает, что действие оператора 
на процесс эквивалентно умножению его высших спектральных плотностей на некоторую функцию частот, которая является ничем иным, как частотной характеристикой высшего порядка (см. § 11.2):
(13.2.8)
При использовании этой частотной характеристики, описывающей линейную систему (13.2.6), высшие спектральные плотности преобразуются как
При 
отсюда получаем обычную частотную характеристику системы:
которая является вещественной функцией частоты, в отличие от 
.
Таким образом, последовательность частотных характеристик 
определенных формулой (13.2.8), вместе с 
исчерпывающим образом представляет линейную систему, описываемую операторным уравнением(13.2.6).
