12.2. Преобразование кумулянтных функций дифференцирующей системой
1. Обратимся теперь к уравнению
(12.2.1)
и будем считать известными моментные и кумулянтные функции
Требуется определить моментные и кумулянтные функции выходной переменной 
.
Так как правая часть (12.2.1) представляет собой суперпозицию производных, то для решения поставленной задачи можно привлечь формулы для моментных и кумулянтных функций производных, полученные в § 9.2. Мы, однако, поступим гораздо проще, воспользовавшись для нахождения моментных функций перестановочностью операций 
и 
, а затем заменим моментные скобки на кумулянтные.
Итак,
(12.2.2)
Таким образом,
(12.2.3)
Заменяя моментные скобки на кумулянтные, придем к
(12.2.4)
Найденные формулы (12.2.3) и (12.2.4) полностью решают поставленную задачу о нахождении моментных и кумулянтных функций выхода линейной системы с дифференциальной правой частью.
2. Из (12.2.4) также следует то, что мы получили в предыдущем параграфе: s-я кумулянтная функция на выходе определяется только s-й кумулянтной функцией входа. И это обстоятельство является следствием линейности системы, вне зависимости от конкретного вида линейного оператора 
.
Таким образом, если 
является гауссовым, то 
также будет гауссовым; если 
описывается эксцессным распределением, то эксцессным же распределением будет описываться и 
, и т. п. Следовательно, и в этом случае имеет место кумулянтная инвариантность, которая представляет собой общее свойство любой линейной системы.
3. Если входной процесс 
сильно стационарен, то таким же будет и случайный процесс 
. Его моментные и кумулянтные функции, согласно (12.2.3), (12.2.4) и с учетом (9.2.6), будут равны 
(12.2.5)
в то время как первая кумулянтная функция, равная среднему значению и не зависящая от времени, будет преобразовываться по закону квазистатического воздействия 
.
Для моментной и кумулянтной функций второго порядка формулы (12.2.5) дают
Пример 12.2.1. Пусть сильно стационарный случайный процесс 
связан следующим дифференциальным выражением с 
:
. Кумулянтные функции первых четырех порядков 
сильно стационарного процесса 
равны
