Раздел I. КУМУЛЯНТНОЕ ОПИСАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Глава 1. КУМУЛЯНТЫ

1.1. Моментное представление случайной величины

1. Пусть случайная величина задана плотностью вероятности , которую будем называть также вероятностным распределением или просто распределением случайной величины. Будем предполагать далее, что как плотность вероятности, так и ее производные при наличии сингулярностей могут быть выражены через дельта-функции, а в точках разрыва плотности вероятности или ее производных будем доопределять их полусуммой пределов справа и слева.

Любая плотность вероятности должна удовлетворять двум условиям:

Важнейшим аппаратом теории случайных величин является аппарат статистических средних. Пусть — какая-либо функция от случайной величины . Среднее статистическое значение этой функции определяется тогда как

2. Моментами распределения или моментами случайной величины называются интегралы

(1.1.1)

, если они существуют. О моменте как о моменте -го порядка.

Для всякого распределения моменты согласно (1.1.1) определяются однозначно. Это значит, что они являются характеристиками распределения — некоторыми величинами, представляющими плотность вероятности , т. е. определенные свойства случайной величины Вместе с тем вовсе не у каждого распределения существуют (являются конечными) все моменты. У резонансного распределения, например,

(1.1.2)

все четные моменты бесконечны.

С другой стороны, если плотность вероятности отлична от нуля только в каком-нибудь конечном интервале значений , т. е. если является финитной функцией, как, например, для равномерного распределения

(1.1.3)

где

то у такого распределения существуют все моменты.

Рассматривают также центральные моменты распределения

где — центрированная случайная величина.

В дальнейшем, когда это не вызовет путаницы, мы часто будем опускать у моментов верхний индекс, обозначающий случайную величину, и записывать их просто как . Взаимосвязь дается формулами (полагаем )

Для первого момента - среднего значения и второго центрального момента - дисперсии случайной величины примем специальные обозначения:

где через обозначено так называемое стандартное отклонение.

Допустим, что или однозначно определяют плотность вероятности . Тогда вместо нее можно рассматривать бесконечный ряд

Другими словами, любой из этих бесконечных рядов исчерпывающим образом представляет случайную величину, являясь тождественным представлением ее вероятностного распределения. В таком случае можно говорить о моментном представлении случайной величины.

3. Поскольку плотность вероятности любой случайной величины абсолютно интегрируема, постольку всегда существует ее сопряженная Фурье, называемая характеристической функцией распределения

(1.1.4)

Обратное преобразование от к имеет вид

(1.1.5)

Последний интеграл, в отличие от (1.1.4), может и не обладать сходимостью. В этом случае он понимается в смысле главного значения, или в смысле суммирования, или, наконец, в смысле обобщенных функций. Кроме того, как уже говорилось, в точках разрыва под будем понимать полусумму пределов слева и справа.

Пара преобразований Фурье (1.1.4), (1.1.5) позволяет говорить о характеристической функции как о тождественном представлении вероятностного распределения . Характеристическая функция обладает следующими свойствами:

(1.1.6)

Свойства 3—5 с учетом свойства эквивалентны определению так называемой положительно-определенной функции [37—39). Все свойства (1.1.6) без труда можно получить из определяющих формул (1.1.4), (1.1.5), что доказывает их необходимость. С другой стороны, их достаточность следует из теоремы Бохнера—Хинчнна:

для того, чтобы непрерывная функция такая, что , была характеристической функцией некоторого распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была положительноопределенной , например, [38—40]).

Так как характеристическая функция тождественно представляет плотность вероятности, то очевидно, что и любые параметры распределения можно «извлечь» из этой функции. Так, моменты распределения

Таким образом, коэффициенты разложения характеристической функции в степенной ряд

(1.1.7)

определяются именно моментами распределения.