10.7. Эволюция моментных функций

1. Рассмотрим стационарный марковский процесс с независимыми от времени кинетическими коэффициентами . Двумерная плотность вероятности этого процесса согласно (10.3.9) подчиняется уравнению эволюции

(10.7.1)

Рассмотрим функцию марковских переменных , среднее значение которой

зависит только от разности моментов времени . С помощью (10.7.1) и оператора легко найти производную среднего значения по :

Таким образом,

(10.7.2)

2. Полученная формула сразу же позволяет написать уравнения для любых моментных функций двумоментного распределения стационарного марковского процесса. Напомним, что моментная функция -гo порядка двумоментного распределения стационарного случайного процесса определяется как

.

Заметим при этом, что первая моментная функция от не зависит. Полагая и учитывая (10.3.7), из (10.7.2) получим следующие уравнения для моментной функции второго порядка:

(10.7.3)

для двух моментных функций третьего порядка:

(10.7.4)

для трех моментных функций четвертого порядка:

(10.7.5)

Нетрудно показать, что в общем случае уравнение эволюции моментной функции произвольного порядка примет вид

(10.7.6)

Если в (10.7.6) положить , то мы получим уравнения для моментов , которые вовсе не зависят от в силу стационарности рассматриваемого марковского процесса. В этом случае (10.7.6) сведется к системе уравнений

(10.7.7)

которые связывают установившиеся значения моментов распределения [ср. с (10.6.23)].

3. Обратим внимание на уравнение (10.7.3) для корреляционной функции стационарного марковского процесса

(10.7.8)

из которого следует, что поведение корреляционной функции произвольного марковского процесса определяется только первым ки нетическим коэффициентом .

Пример 10.7.1. Пусть , как это было для примера 10.6.1 Тогда (10.7.8) становится линейным уравнением

Соответственно для имеем

Такое простое уравнение для корреляционной функции будет конечно только тогда, когда есть линейная функция , т. е. когда мы имеем дело с «линейным» марковским процессом. Если же нелинейно зависит от , то в уравнение для будут входить высшие моментные функции и оно станет незамкнутым. Та же самая ситуация возникнет и для высших моментных функций.

Так, например, если , [ср. с примером 10.6.3], а , то легко получить из (10.7.4) — (10.7.6) следующую систему уравнений для моментных функций:

Эта система не замкнута. Чтобы найти , надо отыскать , а для этого надо знать, в свою очередь, , и т. д. Получается бесконечная система зацепляющихся уравнений, которую точно решить невозможно. Интересно отметить, что система уравнений для моментных функций получилась линейной, несмотря на то, что мы рассматривали «нелинейный» марковский процесс (ср. с [5, 26, 27]).

4. Легко найти условия, налагаемые на кинетические коэффициенты при которых уравнения (10.7.3) — (10.7.6) будут замкнутыми. Для этого необходимо, чтобы было полиномом по х степени не выше :

Здесь — любые конечные числа. В этом случае, например, уравнение для корреляционной функции примет вид

где первый момент может быть определен независимым образом из первого уравнения (10.7.7) : .