Глава 2. КУМУЛЯНТНЫЕ СКОБКИ И ДИАГРАММЫ
2.1 Кумулянтные скобки
1. Введем специальные обозначения для кумулянтов, позволяющие существенно упростить оперирование с негауссовыми случайными величинами и их совокупностями [28, 29, 32].
Кумулянт первого порядка, совпадающий с моментом первого порядка, будем по-прежнему обозначать как 
.
Кумулянты второго порядка будем записывать как
Кумулянты третьего порядка обозначим
В общем случае кумулянт порядка s, относящийся к совокупности случайных величин 
, запишем так 
:
(2.1.1)
Скобку 
, в которой имеется хотя бы одна запятая, разделяющая случайные переменные, будем называть кумулянтной скобкой. По определению кумулянтная скобка с различными аргументами
(2.1.2)
является тем совместным кумулянтом совокупности 
, в который каждая случайная величина входит один раз.
Если одна и та же случайная величина входит в кумулянтную скобку многократно, то эту кумулянтную скобку для краткости будем записывать в виде
Следовательно, кумулянт (2.1.1) примет вид
(2.1.3)
Введение кумулянтных скобок позволяет рассматривать выражения типа 
и т. п., которые играют большую роль в кумулянтном анализе случайных переменных и которые не могут быть непосредственно выражены через совместные кумулянты совокупности 
. В то же время эти выражения могут быть записаны через соответствующие средние значения (см. ниже).
2. Нетрудно обнаружить, что введенное представление кумулянтов с помощью кумулянтных скобок аналогично записи моментов с помощью обычных скобок статистического усреднения. В самом деле, если раскрыть смысл совместного момента, то выражение
(2.1.4)
полностью подобно (2.1.1), (2.1.3), а скобка
(2.1.5)
аналогична скобке (2.1.2). Скобки статистического усреднения (2.1.4), (2.1.5) будем в дальнейшем называть моментными скобками.
Таким образом, «графическое» отличие кумулянтных скобок от моментных заключается в замене в последних точек, означающих операцию произведения, на запятые, смысл которых совершенно иной. Кумулянтные скобки, в отличие от моментных, не означают статистического усреднения выражения, стоящего в них. Это связано с тем, что если моменты есть действительно средние значения, то кумулянты представляют собой их нелинейную комбинацию.
