12.4. Дифференциальные уравнения моментных и кумулянтных функций

1. В ряде случаев бывает полезным составление дифференциальных уравнений для моментных и кумулянтных функций, исходя из заданных дифференциальных уравнений для самих случайных процессов. Эту операцию нетрудно провести, если воспользоваться результатами § 12.2.

Рассмотрим общее линейное преобразование :

(12.4.1)

С помощью (12.2.3) можем записать следующее уравнение, связывающее моментные функции с моментными функциями :

(12.4.2)

Если теперь первое уравнение (12.4.1) понимать таким образом, что есть заданный случайный процесс, а — искомый, то на основании той же формулы (12.2.3)

(12.4.3)

Теперь осталось лишь объединить (12.4.2) и (12.4.3), и мы получим искомое дифференциальное уравнение для моментных функций

(12.4.4)

соответствующее исходному дифференциальному уравнению

На основании (12.2.4) аналогичному уравнению будут подчиняться и кумулянтные функции:

(12.4.5)

Для среднего значения и ковариационной функции получим, в частности, уравнения

Пример 12.4.1. Пусть, например, (см. § 12.3) связь с дастся уравнением

Тогда первые три кумулянтные функции описываются следующими уравнениями:

2. Если входной случайный процесс является стационарным, то станет стационарным процессом лишь после того, как затухнут переходные процессы в системе, описываемой уравнением . По прошествии этого времени моментные и кумулянтные функции обоих процессов будут связаны на основании (12.2.5) следующим уравнением:

(12.4.6)

Как и ранее, обозначает здесь как моментную, так и кумулянтную функцию.

Так, например, ковариационная функция стационарного процесса определяется урвнением

(12.4.7)

где считается заданной.

Пример 12.4.2. Если обратиться к примеру 12.4.1, то на основании (12.4.6) нетрудно записать следующие дифференциальные уравнения, связывающие первые три кумулянтные функции стационарных процессов и :

(12.4.8)

3. Если внимательно рассмотреть путь, которым мы пришли к уравнениям (12.4.4), (12.4.5) или (12.4.6), то легко увидеть, что главное, чем мы воспользовались, — это перестановочность моментных и кумулянтных скобок с оператором дифференцирования. Это обстоятельство дает нам возможность подойти к проблеме составления дифференциальных уравнений для моментных и кумулянтных функций по-другому, путем непосредственного написания этих уравнений, исходя из конкретных уравнений, связывающих случайные переменные. Этот путь открывает простые возможности составления уравнений и для совместных моментных и кумулянтных функций, связывающих статистические характеристики входа и выхода.

Мы проиллюстрируем этот подход на примере уже рассмотренного простейшего уравнения

предполагая процесс стационарным и рассматривая установившееся движение .

Начнем с получения уравнения для . Запишем исходное уравнение для момента времени

Внесем теперь обе части этого уравнения в кумулянтную скобку второго порядка и воспользуемся первыми тремя свойствами кумулянтных скобок:

Вынося оператор за скобку, окончательно придем к уравнению

(12.4.9)

являющемуся еще одним уравнением для ковариационной функции [ср. со вторым уравнением (12.4.8)]. В правую часть этого уравнения входит неизвестная совместная ковариационная функция второго порядка. Для нее совершенно таким же путем мы найдем свое дифференциальное уравнение, приняв во внимание, что согласно (7.5.2) , и записав исходное уравнение для момента времени :

Врезультате получим

Учитывая четность автоковариационной функции и вынося оператор дифференцирования за скобку, найдем

(12.4.10)

Таково уравнение для совместной ковариационной функции. В его правую часть входит теперь заданная ковариационная функция входного процесса.

Решая (12.4.10) и задаваясь начальными условиями, можно без труда отыскать . С другой стороны, исключая эту функцию из (12.4.9), (12.4.10), мы, как и должно быть, придем ко второму уравнению (12.4.8).

Отыскание уравнения для третьей кумулянтной функции приведет нас к

Раскрывая кумулянтные скобки, найдем

Аналогичным образом получим

Итак, мы обнаружили другой вид уравнений для третьих кумулянтных функций. Объединяя три последние уравнения и исключая из них , мы, разумеется, придем к третьему уравнению (12.4.8).