1.3. Моменты и кумулянты двумерного распределения

1. Совокупность двух случайных величин и можно рассматривать как двумерную случайную величину, исчерпывающим образом представленную двумерной плотностью вероятности или двумерной характеристической функцией .

Степень статистической взаимосвязи случайных величин описывается условными плотностями вероятности определенными таким образом, что

Аргумент условных плотностей вероятности, стоящий перед вертикальной чертой, является их параметром.

Случайные величины и называются статистически независимыми, если

Для таких случайных величин

2. Моменты двумерного распределения имеют два верхних и два нижних индекса:

Первый индекс всегда будет относиться к первой случайной величине, а второй индекс — ко второй. В том случае, когда порядок случайных величин не меняется и возможность путаницы исключена, мы так же, как и для одномерных моментов, верхние индексы будем опускать и эти моменты записывать просто как или или иногда еще проще: .

Порядком момента называется сумма . Моменты называются совместными, если и , и отличны от нуля. Легко видеть, что моменты или являются моментами одномерных распределений соответствующих случайных величин. Для них мы часто будем использовать также и прежнее обозначение, но тогда во избежание путаницы, верхние индексы у них должны записываться, например: .

Совместный центральный момент второго порядка носит название ковариации случайных величин и . Введем для него специальное обозначение: .

Обычный совместный момент второго порядка будем называть корреляцией случайных величин и обозначать

3. Характеристическая функция двумерной случайной величины может быть разложена в двойной степенной ряд:

Эту двойную сумму целесообразно записать в другом виде, где сначала суммируются все моменты одного порядка, а затем уже идет суммирование по порядкам:

Разложение логарифма характеристической функции в степенной ряд

определяет - кумулянты двумерного распределения:

Таким образом,

(1.3.1)

Порядком кумулянта называется сумма . Совместные кумулянты — это те кумулянты , для которых и и . отличны от нуля. Вместо будем также писать иногда , если это не вызовет недоразумений.

4. Связи между двумерными моментами и кумулянтами даются, например, следующими формулами [14]:

(1.3.2)

Формулы, выражающие совместные кумулянты через моменты, имеют, например, следующий вид:

(1.3.3)

В заключение параграфа отметим, что взаимосвязи между совместными моментами и кумулянтами можно, вообще говоря, получить из аналогичных выражений для одной случайной величины, используя некоторый формальный прием (см. [14]). Кроме того, выражения (1.3.2) и (1.3.3) элементарно получаются при использовании метода кумулянтных скобок (см. ниже гл. 2).