15.7. Спектры негауссова броуновского движения

1. Выше, в § 15.5, мы рассмотрели спектр стационарного негауссова броуновского движения, происходящего в потенциальной яме , и нашли, что его ширина зависит от интенсивности воздействующего шума в то время как значение спектральной плотности в нуле постоянно. Как уже было отмечено, оба эти эффекта являются существенно нелинейными или, лучше сказать, эффектами негауссовости шума.

В этой связи представляется весьма интересным и важным выяснение общего характера поведения в зависимости от вида потенциальных функций. Этому вопросу и посвящен настоящий параграф. Рассмотрение будет вестись в гауссовом приближении.

2. Спектр флуктуационной части негауссова броуновского движения, описываемого уравнением

согласно (15.2.8), в гауссовом приближении имеет вид

где . Записывая этот спектр в виде

получаем для энергетической полосы спектра и его значения в нуле выражения

(15.7.1)

в которых мы уже учли, что и определяются уравнениями

(15.7.2)

Из (15.7.1), как это и должно быть, следует, что

(15.7.3)

3. Хотя есть полоса спектра марковского процесса , эту же величину можно принять и за полосу нелинейной инерционной системы, и этот шаг представляется весьма естественным и понятным, если учесть, что на входе системы мы имеем белый шум с бесконечно большой полосой, а на выходе — марковский процесс с полосой . Можно сказать, что имеется нелинейная фильтрация входного шума, и нелинейность этой фильтрации как раз и проявляется в том, что полоса системы существенно зависит от интенсивности шумового воздействия.

Первая формула (15.7.1) показывает, что увеличение или уменьшение полосы системы с ростом интенсивности воздействующего шума зависит от того, как быстро растет дисперсия выхода с ростом .

Если, например, мы имеем линейную систему, для которой , то значения и а показывают, что вовсе не зависит от , как и должно быть для линейной системы.

Если возрастает с ростом быстрее, чем , то будет уменьшаться с ростом ; если же растет медленнее , то будет увеличиваться при возрастании .

Не представляет труда дать интерпретацию этим закономерностям. Если потенциальная функция возрастает медленнее , то, очевидно, что при росте дисперсия установившегося распределения будет расти быстрее, чем , поэтому будет уменьшаться с ростом . Если же потенциальная функция возрастает быстрее , то этот крутой рост потенциального барьера приведет к тому, что будет увеличиваться с ростом медленнее, чем . В этом случае система становится более жесткой, и поэтому будет увеличиваться с ростом .

Очевидно, что в том случае, когда вид потенциальной функции различен для разных , зависимость от будет определяться отношением к каким-то характерным размерам потенциальной ямы.

Так, например, если при малых система менее жестка, чем линейная, а при возрастании жесткость увеличивается и становится большей, чем у линейной, то сначала будет уменьшаться с ростом , а затем увеличиваться.

Если рассматривать время корреляции выходного марковского процесса

(15.7.4)

то в его зависимости от имеется много общего с зависимостью времени релаксации броуновского движения от [ср. с (15.6.7)]. Оба эти времени увеличиваются с ростом , если возрастает быстрее, чем , и уменьшаются, если имеется обратная зависимость. Вместе с тем, эти временные характеристики различны, поскольку они описывают различные временные процессы.

4. Перейдем теперь к конкретному рассмотрению, из которого особенности изменения спектров выхода системы при изменении интенсивности входного случайного процесса могут быть уяснены наиболее наглядно.

Как мы уже видели ранее (см. пример 15.6.1), дифференциальному уравнению

(15.7.5)

соответствует потенциальная функция и . Из (15.7.1) находим

(15.7.6)

Таким образом, полоса системы уменьшается с ростом , как это и должно быть из-за «мягкости» потенциальной ямы, в то время как значение спектральной плотности в нуле резко возрастает. Из (15.7.6) следует, что выходной шум при большой интенсивности входного шума становится весьма медленным, и он тем более медленен, чем больше . Можно сказать, что нелинейная система (15.7.5) осуществляет сильно инерционную нелинейную фильтрацию вблизи нулевых частот и может, в принципе, служить своеобразным фильтром «постоянного тока». Вместе с этим, эта система, конечно, не просто отфильтровывает широкополосный входной шум. Лучше сказать, что она трансформирует входной широкополосный шум в узкополосный выходной.

Интересно отметить, что для нелинейной инерционной системы (15.7.5) известно точное значение времени корреляции марковского процесса [72, 73] .

Время корреляции, вычисленное в гауссовом приближении, согласно (15.7.4) равно .

Сравнение этих значений еще раз убедительно показывает, что, во-первых, гауссово приближение дает удовлетворительную точность и, во-вторых, правильно показывает качественную зависимость времени корреляции от и .

Это позволяет предполагать, что и точные значения и отличаются от (15.7.6) лишь численными поправками, хотя, разумеется, окончательное суждение о ценности использования гауссова приближения для решения подобных задач может дать лишь сравнение полученных значений с экспериментом.

5. Рассмотрим теперь броуновское движение в потенциальной яме, изображенной на рис. 15.10. Такая потенциальная функция означает наличие в инерционной системе релейного элемента с «зоной нечувствительности». Найдем параметры спектра и характер его деформации при изменении интенсивности воздействующего шума. Однако прежде чем производить какие-либо расчеты, проведем общий качественный анализ зависимости полосы спектра от .

Наличие зоны нечувствительности ведет к тому, что при малых (таких, что система практически не ощущает присутствия потенциального барьера, и поэтому в системе отсутствует жесткость. Это значит, что при должна . В то же время при любом (при ) крылья вероятностного распределения «чувствуют» рост потенциальной функции, поэтому при возрастании полоса системы должна резко возрастать.

Если теперь взять противоположный случай, когда настолько велико, что , то зона нечувствительности практически не сказывается и мы приходим к случаю, рассмотренному в предыдущем примере, для которого . Следовательно, функция должна иметь максимум. Легко сообразить, что , при котором достигает максимального значения, должно соответствовать примерному равенству характерных «размеров» вероятностного распределения потенциальной ямы , т. е. при . Нетрудно оценить порядок максимального значения полосы системы, поскольку оно должно выражаться лишь через параметры и . Из анализа размерностей следует, что . Следовательно, .

Из симметрии потенциальной ямы следует, что . Для определения дисперсии найдем

Тогда согласно (15.7.2) безразмерная дисперсия установившегося распределения должна определяться уравнением

Полоса марковского процесса и значение его спектральной плотности в нуле на основании (15.7.1) равны

(15.7.7)

Поскольку эти уравнения являются трансцендентными, то явного выражения для найти не удается.

По этой причине не следует и определять из (15.7.7), пользуясь безразмерной дисперсией как промежуточным параметром, который, в свою очередь, можно по заданному значению находить из соотношения

Построенная таким образом зависимость изображена на рис. 15.11. Производная обращается в бесконечность при , что соответствует, как уже выше качественно отмечалось, наибыстрейшему возрастанию полосы спектра марковского процесса при росте интенсивности воздействующего шума.

Рис. 15.10. и Рис. 15.11.

Максимальное значение

приходится на , чему соответствует , что полностью подтверждает приведенный качественный анализ. При достаточно больших , таких, что , как и должно быть, .

Зависимость также показана на рис. 15.11. При малых значениях имеют место большие значения , затем они уменьшаются до минимального значения

а затем опять возрастают . Минимум наступает несколько ранее максимума и соответствует

Таким образом, эволюция спектра марковского процесса происходит следующим образом. При малой интенсивности воздействующего шума, когда «края» потенциальной ямы сказываются еще мало и броуновское движение близко к свободному, спектр имеет малую полосу и большую «высоту», так что он весьма близок к спектру свободного броуновского движения, пропорционального . Затем при увеличении полоса спектра резко возрастает, а его высота падает. Наиболее широкополосным спектр является при , когда жесткость системы максимальна, при этом его высота находится вблизи минимального значения. При дальнейшем росте

Рис. 15.12. и Рис. 15.13.

спектра входного шума выходной спектр опять начинает сужаться и подниматься и, наконец, при полоса спектра убывает а высота возрастает пропорционально .

6. В конце предыдущего параграфа мы качественно рассмотрели зависимость для трех видов потенциальных функций. Используя соотношения (15.7.1) для этих же самых функций, можно также качественно определить характер эволюции ширины и высоты спектра установившегося броуновского движения. На рис. 15.12 и 15.13 показаны эти зависимости для первой и третьей потенциальных функций.

7. Мы рассмотрели в гауссовом приближении спектральные характеристики марковского процесса , описываемого дифференциальным уравнением

где — гауссов белый шум с интенсивностью .

Согласно § 15.2 гауссово приближение для указанного нелинейного дифференциального уравнения эквивалентно замене его «линейным» уравнением

(15.7.8)

основной параметр которого — полоса — зависит от среднего значения и дисперсии выходной переменной. Допустим теперь, что полоса системы нам известна. Можем ли мы считать, что на нашу систему эффективно действует только тот шум, который попадает в эту полосу? Именно так и обстоит дело и именно вследствие этого между дисперсией, шириной и высотой спектра имеет место соотношение (15.7.3). Но если это так, то выходной спектр из-за постоянства спектральной плотности входного шума должен просто-напросто совпадать по форме с частотной характеристикой линеаризованной системы (15.7.8). Так оно и есть на самом деле, ибо частотная характеристика этой системы равна

и если ее умножить на и учесть, что , то мы и получим выражение для .

Таким образом, все разнообразие поведения выходного спектра марковского процесса при изменении обязано по существу изменению полосы системы и является ничем иным, как эволюцией частотной характеристики нелинейной системы при изменении интенсивности воздействующего на нее белого шума.