4.6. Нелинейные преобразования гауссовых переменных

1. Когда нелинейному преобразованию подвергаются гауссовы случайные величины, мы встречаемся с наиболее простой и в то же время практически важной ситуацией. В этом случае метод кумулянтных уравнений становится наиболее эффективным.

Начнем анализ с нелинейного преобразования одной гауссовой случайной величины

(4.6.1)

среднее значение которой и дисперсия заданы. Любые статистические характеристики негауссовой случайной величины зависят лишь от двух входных кумулянтов, например,

Это же, конечно, относится и к среднему значению какой-либо функции от . При этом зависимость от и определяется, согласно (3.2.3), уравнениями

(4.6.2)

Это обстоятельство приводит к тому, что мы всегда можем записать искомые характеристики в виде степенного ряда , коэффициенты которого будут зависеть от . Например,

(4.6.3)

Поскольку при случайная величина равна среднему значению, то для второго уравнения (4.6.2) начальное условие примет вид

(4.6.4)

С другой стороны, дифференцируя (4.6.3) и вычисляя значение производной, имеем

Сравнивая это значение с (4.6.4), находим коэффициенты . Следовательно, ряд (4.6.3) принимает вид [ср. с (1.6) в приложении ]:

(4.8.5)

Таким образом, имеются две возможности непосредственного выражения через кумулянты гауссовой случайной величины. Первая — это представление искомого среднего в виде ряда (4.6.5), вторая — решение дифференциального уравнения (4.6.2) с начальным условием (4.6.4).

Это относится, разумеется, и к моментам случайной величины (4.6.1). Для этих моментов может быть записан ряд

(4.6.6)

а также дифференциальные уравнения

с начальными условиями

(4.6.7)

2. Проиллюстрируем эти возможности двумя примерами.

Пример 4.6.1. Найдем . Так как

то согласно (4.6.5)

Пример 4.6.2. Пусть , где имеет симметричное гауссово распределение. Требуется найти и .

Для согласно (4.6.2) и принимая во внимание (1.4), имеем следующее уравнение:

Его решение при начальном условии имеет вид

(4.6.8)

Дисперсии согласно (4.5.6) связаны уравнением

Учитывая, что , получаем .

Уравнение

при начальном условии имеет решение

(4.6.9)

Отсюда, кстати, получаем и значение среднего квадрата

(4.6.10)

3. Перейдем теперь к рассмотрению нелинейного преобразования двумерных гауссовых случайных величин. Пусть гауссова совокупность {х, у} представлена известными значениями .

Среднее значение какой-либо функции зависит теперь от пяти указанных кумулянтов, и поэтому его мы можем разложить в ряды по этим кумулянтам. Наибольший практический интерес представляет разложение по степеням ковариации :

(4.6.11)

Тот факт, что при случайные величины и становятся статистически независимыми, существенно упрощает вычисление коэффициентов , которые равны

(4.6.12)

Заметим, что ряд (4.6.11), разумеется, может быть записан и при произвольном распределении совокупности . Однако коэффициенты будут уже зависеть от всех кумулянтов распределения (кроме ), и формула (4.6.12) станет несправедливой.

Особенный интерес представляет частный случай , соответствующий преобразованию, изображенному на рис. 4.1, когда . В этом случае

Ряд (4.6.11) становится рядом для корреляции выходных переменных:

(4.6.13)

Вычитая из обеих частей слагаемое , получим ряд, дающий разложение ковариации выходных переменных по степеням ковариации входных переменных:

(4.6.14)

Если , а случайные величины , имеют одинаковые распределения , то последний ряд принимает более простую форму:

(4.6.14)

Рис. 4.1.

С этим рядом мы еще встретимся в дальнейшем, когда будем интересоваться корреляционной функцией случайного процесса при его нелинейном преобразовании.

Если сумму ряда (4.6.13) найти не удается, то можно прибегнуть к решению получающегося из (3.3.3) дифференциального уравнения [47—49]:

(4.6.16)

при начальных условиях

4. Рассмотрим два примера.

Пример 4.6.3. Пусть задано следующее нелинейное преобразование совокупно гауссовых случайных величин :

Требуется найти ковариацию . Запишем производные и :

Так как все производные , начиная с третьей, равны нулю, то на основании (4.6.16) ковариация входит в не выше, чем во второй степени. Выбирая , имеем

Первый интеграл равен

Из начального условия

следует, что . Второй интеграл равен

Используя формулу (4.6.8), из второго начального условия находим :

Таким образом, корреляция и ковариация выходных переменных соответственно равны

(4.6.17)

Приведенный пример наглядно иллюстрирует практическую ценность кумулянтного подхода при исследовании нелинейного преобразования случайных величин. Разумеется, формулы (4.6.17) можно получить и «классическим» путем — нахождением через и дальнейшим интегрированием. Однако если попытаться это проделать, то мы встретимся с весьма громоздкими выкладками, несмотря на то, что есть гауссово распределение.

Пример 4.6.4. Пусть совокупно гауссовы величины преобразуются в и , проходя через ограничители:

Требуется найти корреляцию и ковариацию выходов ограничителей.

В нашем случае средние значения всех нечетных производных функций и отличны от нуля. Поэтому (4.6.14) будет бесконечным рядом. Учитывая (1.4), найдем

Подставляя значения средних в (4.6.14), получим следующий ряд для искомой ковариации:

(4.6.18)

Чтобы определить сумму этого ряда, запишем уравнение для , полагая в (4.6.16) и учитывая (1.5):

Решая это уравнение, получаем

Из начального условия при имеем окончательно

Ковариация

(4.6.19)

как и должно быть, совпадает с (4.6.18).

Интересно отметить, что, вычислив корреляцию , мы нашли и все высшие моменты выходных переменных, ибо

Таким образом

(4.6.20)

Используя (4.6.19) и (4.6.20), можно найти выражения и для любых кумулянтов негауссовой совокупности выходных случайных величин , , например: