10.6. Эволюция кумулянтов

1. Существование кинетических уравнений для марковского процесса позволяет вывести простые и удобные формулы для производных по времени от некоторых средних и от них перейти к уравнениям для моментов и кумулянтов процесса.

Пусть — марковский процесс. Рассмотрим произвольную функцию . Ее среднее значение

в общем случае зависит от времени как непосредственно, так и через вероятностное распределение:

Используя кинетическое уравнение (10.3.2), получим

(10.6.1)

В том случае, когда функция явно от времени не зависит,

(10.6.2)

Итак, кинетический оператор позволяет определить временную эволюцию не только плотности вероятности марковского процесса, но и различных средних.

2. Рассмотрим одномоментное распределение марковского процесса . Мы уже знаем, что задание распределения в момент tx однозначно определит его для . Поскольку вероятностное распределение может быть представлено совокупностью кумулянтов или моментов , постольку, очевидно, значение кумулянтов или моментов в момент времени должно полностью задать их поведение для . При этом вся информация о характере их изменения будет содержаться в операторе , поскольку он исчерпывающим образом определяет марковский процесс. Другими словами, эволюция моментов или кумулянтов марковского процесса должна определяться их начальными значениями и кинетическими коэффициентами . Поэтому можно говорить о существовании кинетических уравнений для моментов и кумулянтов марковского процесса. Эти уравнения мы здесь рассмотрим.

Полагая и подставляя в (10.6.2) выражение для оператора через коэффициенты [см. (10.3.7)], найдем следующие уравнения, описывающие эволюцию первых трех моментов марковского процесса:

(10.6.3)

Для произвольного момента аналогично получаем

(10.6.4)

Для непрерывного марковского процесса, для которого отличны от нуля лишь , правая часть последней формулы имеет только два слагаемых:

(10.6.5)

Пример 10.6.1. Рассмотрим случайный процесс, описываемый линейным дифференциальным уравнением

(10.6.6)

где .

Согласно (III.6) кинетические коэффициенты марковского процесса равны .

Для такого непрерывного марковского процесса уравнения моментов согласно (10.6.5) принимают вид

(10.6.7)

Систему этих дифференциальных уравнений решить несложно. Если задаться начальными условиями , то легко найти, например, что

(10.6.8)

Отсюда следует, что при . Можно показать, что все нечетные моменты стремятся к нулю, а . Это значит, что каково бы ни было начальное распределение , с ростом времени оно стремится к симметричному гауссову распределению (рис. 10.1). Очевидно, что так и должно быть, ибо уравнение (10.6.6) является линейным, а его правая часть есть гауссов случайный процесс. Тем самым, мы получили нестационарный, однородный во времени марковский процесс, который с течением времени стремится к стационарному гауссову процессу.

3. Приведенный пример показал, что в дифференциальное уравнение (10.6.7) для -ro момента входит сам s-й момент и момент низшего порядка. Это значит, что система уравнений для моментов при любом N является замкнутой. Это обстоятельство имеет место только для линейного дифференциального уравнения, определяющего марковский процесс. Если же уравнение нелинейно, например, если нелинейная функция то в правую часть (10.6.4) войдут моменты более высоких порядков, нежели , и система уравнений для любого конечного числа моментов перестает быть замкнутой.

Таким образом, в общем случае система кинетических уравнений для моментов марковского процесса не замкнута и ее точное решение найти невозможно.

Рис. 10.1

Всякое же приближенное решение, связанное

с ее замыканием, по существу, означает или взятие гауссова приближения, если все высшие моменты выражаются через низшие в соответствии с гауссовым законом, или использование квазигауссова приближения, когда по гауссову закону через низшие моменты выражаются высшие, начиная с какого-либо, может быть, и довольно высокого порядка [56, 57], или, наконец, «отбрасывание» высших моментов. Последнему, как это уже указывалось в § 5.3, не может соответствовать никакая реальная кривая как функция , не говоря уже о вероятностном распределении.

В этой связи опять же более перспективными уравнениями должны быть кинетические уравнения для кумулянтов марковского процесса, к которым мы сейчас и перейдем.

4. Так как , то уравнение для совпадает с первым уравнением (10.6.3):

(10.6.9)

Чтобы получить уравнение для второго кумулянта, продифференцируем по второй кумулянт и используем два первых уравнения (10.6.3). В результате получим

Заменяя два первых слагаемых кумулянтной скобкой, придем к

(10.6.10)

Это уравнение похоже на второе уравнение (10.6.3) с той лишь разницей, что вместо моментных скобок всюду стоят кумулянтные. Можно показать непосредственными вычислениями, что та же закономерность будет иметь место и при записи уравнений для третьего

(10.6.11)

и четвертого кумулянтов

(10.6.12)

Чтобы записать формулу для произвольного кумулянта

(10.6.13)

достаточно сослаться на совпадение первых трех свойств для кумулянтных и моментных скобок и на то, что при выводе уравнений (10.6.4) использовались именно эти три свойства. Можно, конечно, доказать, эту формулу и непосредственными вычислениями, используя метод индукции [32].

Таким образом, уравнения (10.6.9) — (10.6.13) определяют эволюцию кумулянтов произвольного марковского процесса. Здесь, кстати, наиболее ярко видна польза введения кумулянтных скобок, ибо в общем случае никаким другим образом не удается записать так просто и компактно правые части указанных уравнений.

Если теперь в (10.6.13) разомкнуть кумулянтную скобку, выразив ее через кумулянты , то мы получим бесконечную, в общем случае зацепляющуюся систему нелинейных кинетических уравнений для кумулянтов произвольного марковского процесса.

Для непрерывного марковского процесса уравнения (10.6.13) переходят в

(10.6.14)

Пример 10.6.2. Вернемся к примеру 10.6.1 и рассмотрим уравнения кумулянтов марковского процесса, описываемого линейным уравнением 10.6.6). Поскольку , то согласно пятому свойству кумулянтных скобок (см. § 2.3) второе слагаемое в правой части (10.6.14) для будет равно нулю. Тогда кинетические уравнения кумулянтов примут вид

(10.6.15)

Эти уравнения выглядят гораздо проще, чем соответствующие уравнения Для моментов, и являются к тому же замкнутыми для каждого кумулянта.

При произвольных начальных условиях решения уравнений (10.6.15)

(10.6.16)

эквивалентны, конечно, (10.6.8). Вместе с тем, уравнения (10.6.16) имеют более прозрачный физический смысл. Из них также следует, что распределение марковского процесса нормализуется при . Однако отсюда следует и то, что нормализация распределения идет быстрее, нежели его движение к точке (см. рис. 10.1), ибо чем выше порядок кумулянта, тем быстрее он релаксирует, поскольку его время релаксации равно .

Если же начальные условия данного марковского процесса мы зададим в виде (совершив привязку всех реализаций марковского процесса в начальный момент времени к точке ), то вероятностное распределение марковского процесса, все время оставаясь гауссовым, будет стремиться к финальному распределению .

5. Бесконечная зацепляющаяся система кинетических уравнений для кумулянтов произвольного марковского процесса, как и система уравнений для моментов, в общем случае является незамкнутой. Найти ее точное решение невозможно. Однако теперь в отличие от набора моментов мы можем, пользуясь модельными распределениями, «обрезать» набор кумулянтов порядком и рассматривать эти распределения, аппроксимирующие неизвестное вероятностное распределение как приближенные, тем более точные, чем выше . Использование этого подхода для решения «нелинейных» задач составляет основное содержание последних двух глав книги, поэтому мы здесь ограничимся только одним примером «нелинейного» марковского процесса, да и для него лишь запишем кинетические уравнения кумулянтов.

Пример 10.6.3. Пусть марковский процесс представлен уравнением

(10.6.17)

где , а процесс обладает теми же свойствами, что и в примере 10.6.1. Два первых кинетических коэффициента этого марковского процесса, который является непрерывным и однородным во времени, равны согласно (III.6) . Уравнения эволюции кумулянтов рассматриваемого марковского процесса на основании (10.6.9) — (10.6.13) имеют вид

(10.6.18)

Если раскрыть кумулянтные скобки в правых частях первых четырех уравнений (10.6.18), выразив эти скобки через кумулянты, то придем к

(10.6.19)

Правые части полученных кинетических уравнений (10.6.19) ясно показывают «степень» их зацепления имеющейся нелинейностью в уравнении (10.6.17).

6. Если рассмотреть частный случай пространственно однородного марковского процесса, для которого , то вследствие независимости кинетических коэффициентов от х все кумулянтные скобки в правой части (10.6.13), кроме слагаемых с , будут равны нулю. Поэтому кинетические уравнения для кумулянтов такого марковского процесса примут наипростейший вид:

(10.6.20)

Таким образом, кинетические коэффициенты пространственно однородного марковского процесса имеют смысл скорости изменения соответствующего кумулянта. Выбирая произвольные начальные условия в момент , находим из (10.6.20) общее решение для :

(10.6.21)

Пусть однородный в пространстве марковский процесс является также и непрерывным. В этом случае

(10.6.22)

Если в начальный момент времени марковский процесс был также и гауссовым , то он гауссовым и останется. Так, если , то среднее значение и дисперсия гауссова процесса будут изменяться во времени как

Если же начальное распределение было негауссовым, то оно останется негауссовым и для всех . В то же время будет происходить нормализация распределения из-за того, что дисперсия в соответствии с (10.6.22) будет непрерывно увеличиваться при постоянстве всех высших кумулянтов.

7. Если существует стационарная плотность вероятности , то моменты и кумулянты также будут стремиться к установившимся значениям и в пределе мы получим стационарный марковский процесс. Это будет в том случае, когда .

Нетрудно записать уравнения, определяющие установившиеся значения моментов и кумулянтов марковского процесса. Для этого следует приравнять нулю правые части уравнений (10.6.3), (10.6.4) или уравнений (10.6.9) — (10.6.13). В первом случае мы придем к системе уравнений

(10.6.23)

Во втором случае системой, эквивалентной (10.6.23), будет

(10.6.24)