Раздел III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Глава 11. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

11.1. Представление линейной системы

1. Прежде чем анализировать статистические характеристики выходной переменной линейной системы, на вход которой действует случайный процесс (рис. 11.1), рассмотрим в этой главе общие соотношения, существующие между и . Линейной системе с постоянными параметрами соответствуют линейные уравнения с постоянными коэффициентами, взаимосвязывающие с (алгебраические, дифференциальные, интегральные или интегродифференциальные). Если ввести оператор дифференцирования , то указанную взаимосвязь всегда можно представить операторным уравнением

(11.1.1)

где , — некоторые полиномы по . Коэффициент при высшей степени оператора у полинома выберем равным единице. Степени полиномов обозначим через и .

Если, например, рассмотреть системы, представленные на рис. 11.2 и 11.3, то для них соответственно, где .

2. Заменим правую часть уравнения (11.1.1) вспомогательной переменной

(11.1.2)

и рассмотрим сначала задачу отыскания выходной переменной по в соответствии с уравнением

(11.1.3)

Если в этом уравнении положить правую часть тождественно равной нулю, то мы получим уравнение

(11.1.4)

которое определит — собственные процессы системы(11.1.3). Таким образом, есть общее решение однородного уравнения (11.1.4). Его произвольных постоянных определяются заданием начальных условий

(11.1.5)

В подавляющем большинстве случаев мы будем иметь дело с такими линейными системами (преобразованиями), для которых при любых начальных условиях. Такие системы

являются устойчивыми.

Рис. 11.1.

Как известно, общее решение линейного неоднородного уравнения (11.1.3) слагается из общего решения однородного уравнения (11.1.4) и частного решения неоднородного уравнения (11.1.3). Это частное решение представляет собой не что иное, как вынужденное движение (решение) системы (11.1.3), порождаемое входным сигналом и обращающееся тождественно в нуль при . Его мы будем обозначать . Поэтому общее решение уравнения (11.1.3) запишется так:

(11.1.6)

Как собственное, так и вынужденное движения системы могут быть выражены через так называемую переходную функцию системы

Рис. 11.2. и Рис. 11.3.

, которая является откликом системы на дельта-воздействие, удовлетворяет уравнению (11.1.4) при начальных условиях

равна нулю для и исчерпывающим образом представляет линейную систему, соответствующую (11.1.3). При начальных условиях (11.1.5) для

(11.1.7)

(11.1.8)

Коэффициенты равны:

(11.1.9)

Итак, общее решение уравнения (11.1.3) при начальных условиях (11.1.5) для имеет вид

(11.1.10)

Из (11.1.7) следует, что для устойчивой системы при неограниченном возрастании должна стремиться к нулю как переходная функция системы, так и ее производные. Это, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Если линейная система устойчива, то по истечении временного интервала много большего так называемой постоянной времени системы (которая определяется еще и как время релаксации , собственное движение затухнет, и тогда

(11.1.11)

Таким образом, (11.1.11) представляет собой установившееся вынужденное движение, не учитывающее, в отличие от (11.1.8), переходные процессы, обусловленные включением в момент .

Итак, поставленная задача нахождения выходной переменной через вспомогательную полностью решена формулами (11.1.10), (11.1.11). Ниже мы будем рассматривать, главным образом, установившееся движение.

3. Прежде чем переходить к решению исходного уравнения(11.1.1), обратимся к уравнению (11.1.2), которое будем называть уравнением с дифференциальной правой частью, хотя, строго говоря, это вовсе не уравнение, поскольку неизвестная переменная уже выражена через известную .

Хотя основная ценность вспомогательной переменной заключается в том, что с ее помощью исходная задача разбивается на две независимые, уравнение для этой переменной имеет смысл и само по себе, поскольку оно является частным случаем линейного преобразования (11.1.1), когда и, следовательно, .

Интересно отметить, что уравнения (11.1.2) и (11.1.3) являются в определенном смысле «обратными» друг другу. В самом деле, если в (11.1.2) неизвестным считать , а заданным , то мы фактически приходим к уравнению (11.1.3) и наоборот. Другими словами, в уравнении (11.1.1) мы с таким же основанием можем считать неизвестной переменную , а заданной . Общая постановка задачи линейного преобразования от этого не изменяется; в определенном смысле она обратима. Это полезное обстоятельство будет использовано далее.

4. Вернемся к исходному уравнению линейного преобразования (11.1.1), дифференциальный оператор правой части которого запишем в виде

В соответствии с (11.1.6) общее решение исходного уравнения слагается из собственного и вынужденного. Собственное решение уравнения (11.1.1) совпадает с собственным решением уравнения (11.1.3). Вынужденное решение исходного уравнения на основании (11.1.8) и (11.1.2) равно

В общем случае соотношение между — порядками операторов и — произвольно. Если , то установившееся вынужденное решение имеет вид

(11.1.12)

полностью совпадающий с (11.1.11), с той лишь разницей, что роль играет

Пусть теперь . В этом случае, как нетрудно показать, установившееся движение равно

(11.1.13)

где

Таким образом, при в составе вынужденного решения появляются слагаемые, пропорциональные входному воздействию и его производным. Причем эти слагаемые уже не исчезают при .

Пример 11.1.1. Для системы, изображенной на рис. 11.2, имеем . Нетрудно найти, что . Таким образом, для этой системы

(11.1.14)

Установившееся движение имеет вид

Пример 11.1.2. Для системы, изображенной на рис. 11.3, и по-прежнему . Однако теперь .

Следовательно, установившееся движение равно