7.2. Свойства кумулянтных функций

1. Из инвариантности кумулянтных функций стационарного случайного процесса к началу отсчета времени и к любым перестановкам аргументов можно получить некоторые общие свойства их симметрии.

Так, например, легко обнаружить четность ковариационной функции

(7.2.1)

Аналогично можно найти, что

(7.2.2)

Отсюда получаем, в частности,

(7.2.3)

Меняя начало отсчета времени для аргументов четвертой кумулянтной функции, найдем

(7.2.4)

Эти равенства приведут нас, например, к

(7.2.5)

Соотношения, аналогичные (7.2.3) и (7.2.5), могут быть элементарным образом получены и для кумулянтных функций высших порядков из следующей общей формулы:

(7.2.6)

2. Выше мы указывали, что кумулянтные функции в общем случае различны для разных р. Однако это различие относительно, поскольку кумулянтные функции одного порядка в определенной степени связаны приведенными соотношениями симметрии. В самом деле, из (7.2.2), (7.2.4) следует, например, что

(7.2.7)

Условия симметрии (7.2.6) приводят к

(7.2.8)

По этой причине всякая кумулянтная функция у которой , является четной функцией , а при произвольных и четной будет сумма

(7.2.9)

В заключение параграфа заметим, что все полученные здесь формулы справедливы и для моментных функций .