Главная > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

16.7. Инерционное детектирование шума

1. Выше, в § 14.14, мы анализировали безынерционное детектирование случайного процесса. Выясним теперь, как сказывается инерционность системы детектирования на статистических характеристиках выходного процесса.

Рассмотрим простейшую схему инерционного детектора (рис. 15.1). Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента дается зависимостью характеризует постоянную времени усредняющего звена. Введя в рассмотрение функцию , получим следующее дифференциальное уравнение, связывающее выходное исследуемое напряжение с входным заданным случайным процессом:

(16.7.1)

Будем полагать и гауссовым стационарным низкочастотным шумом — марковским процессом, удовлетворяющим уравнению

(16.7.2)

где — гауссов стационарный белый шум с интенсивностью 25. Таким образом, нам заданы следующие статистические характеристики и :

Выходной процесс вследствие нелинейности функции является негауссовым и немарковским процессом. Вместе с этим, совокупность является непрерывной марковской совокупностью, обладающей кинетическими коэффициентами

Исследуем некоторые статистические свойства выходной переменной , ограничившись гауссовым приближением и конкретной функцией

(16.7.3)

2. Если воспользоваться формулами (16.2.2), то мы получим следующие уравнения, определяющие установившиеся значения кумулянтов :

Полоса системы равна

Здесь под понимается производная по аргументу функции, усредненная в предположении его гауссовости.

Исходя из (16.7.3), где , и учитывая, что , нетрудно найти

Введем безразмерный параметр, описывающий среднее значение выходной переменной . Так как , то [ср. с (14.14.4)] .

Следовательно, ковариация и дисперсия равны

Подставляя эти значения в выражение для , мы найдем, что удовлетворяет трансцендентному уравнению [ср. с (14.14.6)]

(16.7.4)

Степень нелинейности детектора характеризуется в этом уравнении безразмерным параметром , мощность воздействующего шума — величиной . Кроме этого, в уравнение входит отношение полосы системы к полосе воздействующего шума:

(16.7.5)

Подставляя (16.7.5) в (16.7.4), можно было бы получить уравнение, определяющее полосу системы. Однако удобнее сначала находить из (16.7.4), а затем уже полосу системы и кумулянты.

Можно показать, что уравнение (16.7.4) имеет единственный положительный корень, зависящий от .

3. Ковариационная функция выхода детектора и его спектр согласно (16.2.4), (16.2.5) в гауссовом приближении таковы:

(16.7.6)

где

(16.7.5)

Энергетическая полоса спектра шума на выходе детектора равна

Таким образом, в гауссовом приближении все статистические характеристики выходного процесса определяются параметром , взаимоотношением и и мощностью входного шума.

4. Приступим теперь к исследованию и обсуждению полученных результатов. Начнем рассмотрение со случая широкополосного входного шума, когда его полоса много больше полосы системы: . Будем также полагать, что при постоянном значении у дисперсия входного шума изменяется за счет изменения высоты спектра входного шума .

При большом значении уравнение (16.7.4) принимает вид

Корень этого уравнения как функция для изображен на рис. 16.4. При , при . Полученная функция позволяет определить зависимость постоянной составляющей выходной переменной от дисперсии входного как . Отсюда следует, что постоянная составляющая сначала при малых s возрастает с ростом s медленно, а затем скорость роста увеличивается. Такая картина связана с тем, что, с одной стороны, при малой мощности воздействующего шума нелинейность детектора, отвечающая за постоянную составляющую, сказывается еще сравнительно мало и начинает играть заметную роль лишь при . Последующее уменьшение скорости роста связано с тем, что появившаяся постоянная составляющая из-за отрицательной обратной связи непрерывно сдвигает рабочую точку нелинейного элемента в область меньшей крутизны так, что при больших значениях мощности входного шума постоянная составляющая на выходе становится пропорциональной этой мощности.

В рассмотренном случае широкополосного воздействия спектр флуктуаций имеет резонансную форму с шириной и высотой

При малой мощности шума, когда ,

На рис. 16.5 изображена эволюция выходного спектра для . Сначала при малых мощностях входного шума полоса выхода неизменна и равна , в то время как быстро растет. Затем при дальнейшем возрастании полоса начинает расширяться оставаясь, однако, много меньше , а отношение стремится к единице. Тем самым, при малых мощностях входного шума мы имеем режим фильтрации, режим, близкий к линейному, в то время как при больших значениях s наблюдается режим расширения спектра — существенно нелинейный режим.

Рис. 16.4. и Рис. 16.5.

5. При дальнейшем росте мощности, когда полоса системы сильно возрастает , условие широкополосности нарушается, и при росте мы приходим к режиму квазистатичности, соответствующему . В этом режиме е определяется уравнением

которое полностью совпадает с (14.14.6). Это значит, что условие является не чем иным, как условием безынерцион-ности детектирования.

В режиме квазистатичности, когда мы приходим к случаю безынерционного детектора, рассмотренного в § 14.14, зависимость 8 от s изображена на графиках рис. 14.14. Сравнивая рис. 14.14 с рис. 16.4, видим, что в случае узкополосного входного шума постоянная составляющая на выходе растет существенно медленнее, нежели при широкополосном входе. Причиной этому является то, что при той же мощности входного шума высокочастотный шум попадает на детектор и, детектируясь, дает вклад в большей долей, чем низкочастотный, из-за того, что -цепочка является для него коротким замыканием.

Для низкочастотного шума согласно (16.7.6) и (16.7.7) получим, учитывая, что основная мощность флуктуаций лежит в полосе, много меньшей

Рис. 16.6.

Эволюция этого спектра [ср. с (14.14.7)] происходит только «по высоте» (рис. 16.6), которая возрастает при увеличении мощности входного шума в раз.

6. В заключение параграфа сделаем два замечания. Во-первых, отметим, что задача инерционного детектирования шума неоднократно рассматривалась в литературе , например, [5]) и уравнение (16.7.1) анализировалось различными методами в зависимости от соотношений времени корреляции воздействующего шума и постоянной времени системы. Вместе с этим часто постоянная времени системы определялась неверно, в качестве нее бралась постоянная времени -цепочки в то время как необходимо рассматривать величину, обратную полосе системы

существенно зависящую от характеристик воздействующего шума и, в частности, от его мощности.

При малой интенсивности воздействующего шума, когда мало, . Но и ошибка невелика. Однако при большом значении s, когда может принимать большие значения, ошибка может стать весьма существенной.

Во-вторых, обратим внимание на то, что в случае широкополосного входного процесса и появляется искушение вместо двух уравнений (16.7.1), (16.7.2) рассматривать одно

(16.7.8)

с дельта-коррелированным воздействием и решать его, полагая процесс марковским. Однако подобный подход не удается реализовать. Это связано с тем, что для (16.7.8) мы не получим конечных значений некоторых кинетических коэффициентов. Последнее обусловлено бесконечным значением дисперсии дельта-коррелированного воздействия .

Это может означать только одно — в полученных в этом параграфе выражениях мы не можем устремлять к бесконечности, сохраняя значение постоянным. Так оно и есть на самом деле, ибо , возрастая, приводит к бесконечно большим значениям или, что то же самое, к бесконечно большому значению постоянной составляющей на выходе детектора. С другой стороны, неограниченный рост дает бесконечно большое значение полосы системы , что, в свою очередь, ведет к нарушению условия широкополосности воздействующего шума.

Другими словами, при детектировании широкополосного шума он не может «безнаказанно» заменяться дельта-коррелированным процессом, и именно по этой причине мы и должны задаваться не одним уравнением (16.7.8), а двумя: (16.7.1), (16.7.2) и специально проверять, действительно ли при заданных параметрах детектируемый шум может считаться широкополосным.

1
Оглавление
email@scask.ru