15.4. Инерционная система с кубической нелинейностью. Установление кумулянтов

1. Рассмотрим теперь более подробно закономерности нелинейного инерционного преобразования белого шума на одном сравнительно простом примере, который к тому же позволит нам найти точные значения некоторых характеристик исследуемого негауссова случайного процесса. Это дает возможность сравнить с ними значения, полученные в гауссовом и эксцессном приближениях, и тем самым выяснить практическую ценность этих приближений.

Пусть выражение, связывающее выходную и входную переменные, имеет вид

(15.4.1)

Оно описывает интегрирующее звено, охваченное отрицательной обратной связью с кубической нелинейностью. Входной случайный процесс примем стационарным гауссовым белым шумом:

В этом случае есть однородный во времени непрерывный марковский процесс. Его кинетические коэффициенты согласно (III.5) равны .

Кинетическим уравнением для плотности вероятности является уравнение Эйнштейна — Фоккера — Планка

(15.4.2)

с начальным условием , где — заданное вероятностное распределение.

2. Начнем анализ с вопроса, существует ли установившееся стационарное распределение Это распределение, очевидно, должно удовлетворять уравнению

которое может быть записано в виде

(15.4.3)

где — произвольная постоянная, определяемая граничными условиями. Решение уравнения (15.4.3) можно, конечно, вычислить, однако для ответа на поставленный вопрос более целесообразно привлечь физические соображения.

3. Уравнение (15.4.1) описывает поведение координаты вязкой броуновской частицы в потенциальном поле сил с потенциалом . Говоря о вязкой частице, мы имеем в виду пренебрежение силами инерции по сравнению с силами вязкого трения. Случайный процесс представляет случайную дельта-коррелиро-ванную силу, действующую на броуновскую частицу со стороны среды. Коэффициент определяет интенсивность этого воздействия.

Модель броуновской частицы, движущейся в потенциальном поле, весьма наглядна и позволяет, опираясь на физические представления, без особого труда ответить на целый ряд вопросов, касающихся статистических свойств ее координаты.

Так, плотность вероятности можно трактовать как распределение плотности броуновских частиц по потенциальной «яме» в каждый данный момент времени , если в начальный момент времени это распределение было равно (рис. 15.2). Совершенно очевидно, что процесс эволюции определяется тем, что, с одной стороны, на частицы действуют «растаскивающие» силы диффузионной природы, стремящиеся «размазать» плотность по всему фазовому пространству , а с другой стороны, действует потенциальная сила, ограничивающая их местонахождение потенциальной ямой. И именно этот процесс и описывает уравнение (15.4.2). Если бы потенциальной ямы не было , то мы имели бы свободную броуновскую частицу, кинетическое уравнение перешло бы в обычное уравнение диффузии, а плотность постепенно «расползлась» бы по всему пространству: .

Наличие потенциальной ямы, бесконечно возрастающей при , ограничивает расплывание стационарным распределением , имеющим конечное значение дисперсии. Вместе с этим, как очевидно, симметричность потенциальной ямы приводит к симметричности по отношению к точке .

Рис. 15.2.

Таким образом, из приведенных физических соображений с очевидностью следует, что распределение , независимо от начального вида , существует, имеет граничные значения и является четной функцией .

Обращаясь теперь к уравнению (15.4.3), на основании сказанного нетрудно найти

(15.4.4)

Постоянный множитель определяется из условия нормировки

где — гамма-функция.

Таково точное значение стационарной плотности вероятности марковского процесса . Оно позволяет вычислить точные значения установившихся кумулянтов.

Вместе с этим, исходя из (15.4.2), не удается отыскать зависящую от времени плотность вероятности , описывающую нестационарный марковский процесс . Поэтому единственным путем к отысканию характеристик процесса установления остается метод кинетических уравнений для кумулянтов, к которому мы сейчас и перейдем.

4. Учитывая значения кинетических коэффициентов и свойства кумулянтных скобок, на основании (10.6.14) нетрудно записать следующие точные уравнения эволюции для кумулянтов исследуемого марковского процесса:

(15.4.5)

Если раскрыть правые части этих уравнений [см. (11.3)], то мы получим бесконечную цепочку кинетических нелинейных уравнений для последовательности кумулянтов:

(15.4.6)

Эта цепочка вследствие нелинейности системы является зацепляющейся: в уравнение для первого кумулянта входят второй и третий, для второго — первый, третий и четвертый, для третьего, кроме первых трех, еще четвертый и пятый и т. д. По этой причине получить точное значение всех кумулянтов, даже если мы справимся с нелинейными уравнениями, невозможно. Поэтому мы ограничимся лишь двумя приближениями: гауссовым и эксцессным.

В гауссовом приближении уравнения (15.4.6) для первых двух кумулянтов принимают вид [то же, разумеется, следует и из (15.2.15)]

(15.4.7)

Таков закон установления среднего и дисперсии при произвольных начальных условиях . Установившаяся величина среднего значения следует из первого уравнения (15.4.7) и из приведенных физических соображений. Таким образом, из второго уравнения (15.4.7) находим установившееся значение дисперсии

(15.4.8)

Если , то для всех . В этом случае установление дисперсии будет происходить по закону

(15.4.9)

Решение этого уравнения таково:

где D определяется формулой (15.4.8), .

Таким образом, релаксация дисперсии происходит с постоянной времени

(15.4.10)

При процесс установления и будет происходить более сложным образом, так, например, при некоторых значениях в процессе дисперсия может принимать значения меньшие , если даже . Вместе с тем, легко показать, что вблизи установившихся значений релаксация среднего значения идет в четыре раза медленнее, чем релаксация дисперсии, т. е. что Чтобы определить общую картину установления, следует, конечно, построить фазовое пространство, соответствующее системе (15.4.7). Мы этого делать не будем, ограничившись симметричным начальным распределением, а основное внимание уделим теперь поправкам, связанным с учетом эксцессного приближения.

5. В эксцессном приближении уравнения (15.4.6) принимают следующий вид [который, разумеется, совпадает с (15.3.11):

(15.4.11)

Мы уже знаем, что установившееся распределение является симметричным, так что . Поэтому из (15.4.11) следует, что установившиеся значения четных кумулянтов определяются уравнениями

Отсюда

(15.4.12)

Таким образом, учет эксцессного приближения привел к несколько другому значению дисперсии и к отличному от нуля эксцессу.

Представляет несомненный интерес сравнение полученных значений кумулянтов с точными, которые могут быть найдены из (15.4.4).

Расчет показывает, что эти точные значения равны

Если обратиться к численным значениям, то получим:

Отсюда видно, что эксцессное приближение дает достаточно точное значение дисперсии и правильно показывает знак и порядок четвертого кумулянта. Причем самое важное заключается в том, что как гауссово, так и эксцессное приближения дают правильную картину качественной зависимости кумулянтов от параметров системы и воздействующего шума. В этом смысле уже гауссово приближение дает качественно правильный результат, который лишь количественно уточняется в дальнейших приближениях. Это позволяет надеяться, что эти приближения достаточно хорошо описывают исследуемые закономерности и в тех случаях, когда мы не имеем возможности проверить их точными результатами.

Это касается, конечно, и времен установления стационарных значений кумулянтов, поскольку найти точные значения эволюционирующих , как уже говорилось, невозможно.

При исследовании процесса установления в эксцессном приближении мы также ограничимся случаем симметричного распределения . В этом случае , а установление дисперсии и эксцесса, согласно (15.4.11), описывается уравнениями

(15.4.13)

Чтобы получить полную картину установления, опять же необходимо строить соответствующий фазовый портрет, чего мы делать не будем, а выясним лишь характеристики установления вблизи стационарных значений (15.4.12). Линеаризуя (15.4.13) и решая полученные уравнения, мы найдем, что установление обоих кумулянтов происходит по экспоненциальному закону с двумя постоянными времени:

Принимая во внимание лишь наибольшее время релаксации, ибо именно оно определяет полное установление дисперсии и эксцесса, мы видим, что изменение при переходе от гауссова приближения (15.4.10) к эксцессному, во-первых, незначительно и, во-вторых, что опять-таки самое главное, носит только количественный характер! Как будет ниже показано, и неизвестное нам точное значение Трах также пропорционально . Другими словами, имеем

в которой неизвестный коэффициент b является пределом последовательности: .

6. Найдем теперь зависимость произвольного кумулянта от параметра нелинейности системы а и интенсивности воздействующего шума и докажем, что точные значения всех времен релаксации .

Для этого запишем уравнения эволюции кумулянтов в безразмерном виде при дифференцировании по безразмерному времени.

Анализируя второе уравнение (15.4.5), нетрудно обнаружить, что переменную можно представить через безразмерную переменную и следующим образом:

Подставляя это выражение в остальные уравнения (15.4.5), учитывая свойства кумулянтных скобок, легко найти переход к безразмерному времени , равному

Таким образом, уравнения кумулянтов переменной примут вид

в которые входят только численные коэффициенты. Это приведет к тому, что времена релаксации кумулянтов представят собой набор чисел . Следовательно, кумулянты имеют вид

(15.4.14)

а их времена релаксации равны

Этот результат является точным. Из него следует, что все кумулянты по абсолютной величине возрастают с ростом , а их времена релаксации уменьшаются с увеличением .

Вместе с этим, поскольку кумулянтные коэффициенты

вовсе не зависят ни от , ни от , форма установившегося вероятностного распределения, как это и должно быть [ср. с (15.4.4)] сохраняется постоянной при всех значениях и , а с ростом возрастает лишь дисперсия распределения.

Более интересной и менее очевидной является полученная зависимость времен релаксации распределения от : чем больше интенсивность воздействующего шума, тем быстрее происходит установление. К этому обстоятельству мы сейчас и обратимся.

7. Прежде всего отметим, что уменьшение с ростом на первый взгляд представляется физически очевидным, поскольку более интенсивный шум быстрее «растаскивает» по потенциальной яме изображающие точки, сконцентрированные начальным распределением .

К этому следует добавить, что интенсивность случайного воздействия , равная , есть не что иное, как коэффициент диффузии броуновских частиц в отсутствие силового поля. Таким образом, кажется очевидным, что независимо от вида потенциальной функции установление стационарного распределения всегда будет идти тем быстрее, чем больше коэффициент диффузии.

Однако это отнюдь не так. В самом деле, положим , т. е. рассмотрим случай квадратичной потенциальной ямы, для которой а а система является линейной. Согласно (10.6.16), установление кумулянтов случайного процесса происходит в этом случае по законам

(15.4.15)

Отсюда следует, что время установления кумулянтов, в том числе и дисперсии, не зависит от коэффициента диффузии , а зависит только от параметра системы (что само по себе очевидно).

Следовательно, с одной стороны, зависимость времени релаксации вероятностного распределения от интенсивности воздействующего шума является существенно нелинейным эффектом, а с другой стороны, это значит, что в приведенных рассуждениях мы что-то не учли.

Более того, забегая вперед (см. § 15.6), отметим, что в общем случае нелинейной системы, описываемой, например, уравнением (15.2.13), мы можем получить, в принципе, любые зависимости от в том числе и такие, при которых увеличивается с ростом .

Итак, в чем же здесь дело? Что мы недоучли? Дело все в том, что мы не учитывали того факта, что чем больше коэффициент диффузии , т. е. чем больше интенсивность воздействующего шума, тем большее стационарное значение должна иметь дисперсия выходной переменной. А это значит, что тем дольше должна устанавливаться дисперсия. Таким образом, в общем случае коэффициент диффузии двояко влияет на время релаксации. С одной стороны, чем больше , тем быстрее «расползаются» изображающие точки от какого-то начального распределения, а с другой стороны, тем больший «путь» должна проходить дисперсия до ее установившегося значения. Вид «окончательной» зависимости от как раз и должен учитывать оба эти фактора, и он существенно зависит от конкуренции этих двух противоборствующих факторов. В принципе, мыслим такой случай, когда эти факторы взаимно уравновешиваются, т. е. когда вовсе не зависит от . И этот случай как раз и является случаем параболической потенциальной ямы т. е. случаем линейной системы.

Все это ведет к тому, что уже по одному виду потенциальной функции можно судить о качественной зависимости от . Этим мы займемся ниже в § 15.6, а сейчас постараемся понять, почему для рассматриваемого случая а время релаксации обратно пропорционально .

8. Ограничившись гауссовым приближением, чего заведомо достаточно для решения поставленного вопроса, необходимо вспомнить, что мы тем самым вместо нелинейной системы рассматриваем некоторую эквивалентную линейную систему. По этой причине, ограничившись сначала качественными рассуждениями, проанализируем уравнение (15.4.1) иным образом, переписав его так:

Посмотрим на это уравнение как на

где . Это есть уравнение «линейной» системы, параметр которой зависит от мгновенного значения выходной переменной . Параметр в силу случайности процесса сам есть случайная функция. Возьмем теперь в качестве его первого приближения среднее значение . Так мы придем к линейной системе

(15.4.16)

для которой установление кумулянтов идет согласно (15.4.15), откуда мы с помощью (15.4.8) мгновенно получаем

что и требовалось доказать. Таким образом, исследуемую нелинейную систему можно приближенно рассматривать как инерционную параметрическую систему, постоянная времени которой обратно пропорциональна дисперсии выходного процесса.

Теперь уже не представляет никакого труда и получение точного значения коэффициента в (15.4.17) при гауссовом приближении, если принять во внимание, что ограничение гауссовым приближением означает замену исходной нелинейной системы (15.4.1) линейной системой (15.2.10)

для которой, согласно (15.2.14),

(15.4.18)

Отсюда уравнение (15.2.15) сразу же приводит к (15.4.9) и, следовательно, к (15.4.10).

Таким образом, наши рассуждения относительно «линейного» уравнения были верны с той лишь поправкой, что при гауссовом приближении вместо (15.4.16) следует брать уравнение