6.2. Моментные и кумулянтные функции

1. Характеристическая функция случайного процесса

есть одномоментная характеристическая функция, зависящая от времени как от параметра. Для -моментной плотности вероятности случайного процесса аналогично определяется —моментная характеристическая функция

Бесконечная последовательность характеристических функций

(6.2.1)

так же как и (6.1.1), полностью описывает случайный процесс.

Если -моментную характеристическую функцию случайного процесса разложить в степенной ряд по то коэффициенты разложения будут функциями параметров [см. (1.6.1), (1.6.3)], являясь совместными моментами -случайных величин :

(6.2.2)

Введем моментные функции случайного процесса :

(6.2.3)

Число s есть порядок моментной функции. Тогда (6.2.2) запишется как

В соответствии с этими обозначениями и с (1.6.3) имеем следующее разложение характеристической функции случайного процесса по моментным функциям [5, 11]:

(6.2.4)

Заметим, что согласно (1.6.2) моментную функцию (6.2.3) можно определить и так:

Поскольку моментная скобка (6.2.3) симметрична по отношению к , моментная функция есть симметрическая функция всех своих аргументов.

Если все аргументы моментной функции приравнять между собой, то получим момент -гo порядка случайного процесса:

Бесконечная последовательность моментных функций

(6.2.5)

исчерпывающим и однозначным образом представляет случайный процесс (если, разумеется, выполнены условия ее сходимости).

2. Аналогично вводятся и кумулянтные функции случайного процесса (:

Кумулянтная функция может быть также определена и как

(6.2.6)

Характеристическая функция случайного процесса выражается через кумулянтные функции на основании (1.6.1), (1.6.3) следующим образом :

(6.2.7)

При одинаковых аргументах кумулянтные функции переходят в кумулянты случайного процесса .

Бесконечная последовательность кумулянтных функций

(6.2.8)

при выполнении соответствующих условий сходимости так же, как и (6.2.5), исчерпывающим и однозначным образом представляет случайный процесс. В то же время последовательность кумулянтных функций в отличие от последовательностей моментных функций (6.2.5), плотностей вероятности (6.1.1) и характеристических функций (6.2.1) является фундаментальной последовательностью в том же смысле, что и набор кумулянтов. Это связано с тем, что кумулянтные функции (6.2.8) случайного процесса могут задаваться в известных пределах независимо друг от друга.

В дальнейшем мы будем представлять случайный процесс именно кумулянтными функциями, полагая его полностью заданным, если заданы все эти функции. Весь последующий анализ случайных процессов и их преобразований мы также будем вести «на языке» кумулянтных функций.

3. На основании (2.2.1), (2.2.2) легко установить связь моментных и кумулянтных функций. Вводя скобки симметризации и для моментных функций, положив, например,

получим следующие выражения первых пяти кумулянтных функций через моментные (ср. с (5, 11, 171):

(6.2.9)

Первые пять моментных функций представляются через кумулянтные следующим образом:

(6.2.10)

Если теперь в (6.2.9), (6.2.10) приравнять все моменты времени, то эти формулы перейдут в формулы (1.2.4), (1.2.5), связывающие между собой моменты и кумулянты, которые теперь будут зависеть от времени, ибо это будут моменты и кумулянты случайного процесса.

4. Для первых двух моментных и кумулянтных функций случайного процесса введем специальные обозначения и названия:

— среднее значение случайного процесса,

— ковариационная функция случайного процесса,

— корреляционная функция случайного процесса,

— дисперсия случайного процесса.

Между этими функциями существуют очевидные соотношения:

Введем специальное название и для кумулянтной функции четвертого порядка:

— эксцессная функция случайного процесса.

5. В §. 2.4 мы показали, что совместный кумулянт , описывает статистическую связь -го порядка, существующую между случайными величинами .Пусть теперь . Тогда рассмотренный кумулянт по определению является кумулянтной функцией s-гo порядка . Таким образом, кумулянтные функции случайного процесса описывают не что иное, как статистическую связь соответствующего порядка, охватывающую значения случайного процесса в выбранные моменты времени. Используя введенные в § 2.5 диаграммы, кумулянтные функции случайного процесса можно изображать следующим образом:

С помощью этих диаграмм, например, третья моментная функция представится так [см. (6.2.10)]:

6. Для количественного описания статистической связи значений случайного процесса целесообразно ввести в соответствии с (2.4.4) нормированные кумулянтные функции процесса:

(6.2.11)

Эти функции при совпадении всех аргументов переходят в кумулянтные коэффициенты случайного процесса [ср. с. (1.2.7)]