3.4. Размыкание моментных скобок

1. Полученные кумулянтные уравнения позволяют решать вопрос о том, как конкретно может выражаться среднее значение для произвольного вида функции через . Это конкретное представление статистического среднего через совместные кумулянты совокупности будем называть операцией размыкания средних или размыканием момеитных скобок. Проблема размыкания средних возникает всякий раз, когда мы стремимся получить некоторые замкнутые системы уравнений для одних только кумулянтов случайных переменных и когда в первоначальные уравнения, кроме кумулянтов, входят также и различные средние.

Примерами размыкания моментных скобок могут служить полученные выше формулы разложения моментов через кумулянты, а также приведенные в приложении I формулы (1.6), (1.7) представляющие средние значения произвольных функций в виде рядов по комбинациям кумулянтов их аргументов.

Среднее значение произвольной функции почти всегда можно разложить в многомерный ряд по степеням произведений совместных кумулянтов , а коэффициенты этого ряда вычислить с помощью кумулянтных уравнений. Однако практическая ценность такого разложения, в общем случае, невелика. Вместе с тем, имеются и такиефункции , средние значения которых без особой громоздкости могут быть представлены простыми рядами кумулянтов.

Некоторые из этих полезных формул размыкания средних мы и приведем в настоящем параграфе.

2. Прежде всего, докажем следующую важную формулу, справедливую для двух случайных величин , имеющих произвольное совместное распределение. Пусть — заданная функция. Тогда

(3.4.1)

Для доказательства воспользуемся формулой (3.3.2):

Очевидно, правая часть будет отлична от нуля только для . Случаю соответствует зависимость от кумулянтов случайной величины .

Его мы не будем рассматривать, поскольку нас интересует разложение по совместным кумулянтам. Поэтому единственные совместные кумулянты, от которых зависит среднее , есть кумулянты вида . Производная по ним равна

(3.4.2)

Следовательно, среднее зависит от линейно, с коэффициентами (3.4.2). Если, с другой стороны, и у статистически независимы, то . Так мы однозначным образом получаем (3.4.1).

Эта формула имеет глубокий смысл. Она разлагает ряд по степеням статистической связи и . Если, например, в совокупности отличны от нуля только статистические связи первого порядка (т. е. если совокупность гауссова), то все совместные кумулянты равны нулю, и мы приходим к известной формуле [44]

(3.4.3)

Если у, то (3.4.1) приводит нас к

(3.4.4)

Если случайная величина гауссова, то

(3.4.5)

Заметим, что две последние формулы не могут, вообще говоря, считаться настоящими формулами размыкания, поскольку от тех кумулянтов, по которым ведется разложение, зависят и коэффициенты разложения.

Аналогично с помощью кумулянтных уравнений для совокупности многих случайных величин можно доказать справедливость формул:

(3.4.6)

Для гауссовых совокупностей эти разложения принимают вид

(3.4.7)

3. Рассмотрим теперь моментную скобку и разложим ее по кумулянтам совокупности . С помощью формулы (3.4.1), заменяя и у соответственно на и , сразу же найдем, что

Кумулянтную скобку в правой части раскрываем с помощью (2.5.9):

Окончательно имеем

(3.4.8)

Если функция зависит от двух аргументов, то разложение среднего значения по совместным кумулянтам совокупности имеет вид

(3.4.9)

Для гауссовой совокупности случайных величин из (3.4.8), (3.4.9) следует, что

(3.4.10)

и соответственно

Пример 3.4.1. Пусть совокупность гауссова и заданными значениями . Легко доказать справедливость формулы ([35], с. [64])

(3.4.11)

позволяющей двукратное интегрирование заменять однократным. В самом деле, подставляя в (3.4.3) значение средней производной из (3.4.5), мы приходим к (3.4.11).

Для гауссовой совокупности трех случайных величин аналогично доказывается формула , , в которой уже трехкратное интегрирование заменяется однократным