Глава 7. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

7.1. Особенности стационарного процесса

1. Случайный процесс называется стационарным, если его плотность вероятности не изменяется при замене последовательности при любом временном сдвиге . Плотность вероятности стационарного случайного процесса зависит лишь от разности моментов времени, например от . Введем обозначение .

Кумулянтные функции стационарного случайного процесса также зависят лишь от разностей моментов времени:

(7.1.1)

2. В кумулянтные функции двумоментного распределения стационарного случайного процесса входит только одна переменная :

(7.1.2)

Кумулянтных функций s-гo порядка всего s—1, и в общем случае все они различны.

Сюда, разумеется, нужно добавить и кумулянтные функции вида

(7.1.3)

которые представляют кумулянты одномоментного распределения.

Обращаясь к трехмоментному распределению случайного стационарного процесса, найдем, что его кумулянтные функции (7.1.1) складываются из одномоментных функций (7.1.3), из двумоментных функций (7.1.2), где , и собственно трехмоментных кумулянтных функций

Таких кумулянтных функций s-гo порядка всего , и все они в общем случае также различны.

По индукции легко доказать, что собственных -моментных кумулянтных функций s-гo порядка будет всего штук. Все сказанное справедливо и для моментных функций стационарного случайного процесса .

Нормированные кумулянтные функции (6.2.11) для стационарного случайного процесса примут вид

(7.1.4)

При (7.1.4) представляет кумулянтные коэффициенты стационарного процесса.

3. Если при анализе многомоментных распределений стационарного случайного процесса ограничиться рассмотрением только кумулянтных функций не выше второго порядка, то главное, что характеризует стационарность процесса, — это постоянство среднего и дисперсии и зависимость ковариационной функции только от разности моментов времени:

(7.1.5)

В связи с этим помимо приведенного выше определения стационарности, которая часто называется стационарностью в узком смысле, существует понятие случайного процесса, стационарного в широком смысле (см., например, [37]). Эта стационарность определяется условиями (7.1.5), в то время как о временной зависимости высших кумулянтных функций ничего не говорится.

Для последующего изложении мы используем более краткую терминологию и стационарность в узком смысле будем называть сильной стационарностью, а стационарность в широком смысле — слабой стационарностью [38, 39].

Таким образом, если оставаться в рамках спектрально-корреляционной теории случайных процессов, для которой необходимо знание лишь низших кумулянтных функций, то достаточно ограничиться рассмотрением только слабо стационарных случайных процессов.

Практическая важность понятия слабой стационарности видна и из того, что для гауссова стационарного случайного процесса понятия слабой и сильной стационарности совпадают, поскольку его кумулянтные функции высших порядков вообще тождественно равны нулю. Таким образом, имея дело с гауссовыми случайными процессами, можно говорить о стационарности вообще, не оговаривая это понятие более точно.

4. Введенные термины «сильно» и «слабо» могут быть отнесены не только к понятию стационарности, но также и к другим характеристикам случайного процесса. Это обстоятельство связано со следующим общим принципом. Если какое-либо утверждение или определение строится только на использовании первых двух кумулянтных функций, то ему приписывается термин «слабо». Если же те же самые утверждения или определения формулируются в терминах всех кумулянтных функций — им приписывается термин «сильно».

Поскольку для гауссовых случайных процессов оба этих термина становятся тождественными, то из «слабых» утверждений для любых случайных процессов в дополнительном предположении об их гауссовости всегда вытекает много больше, а именно, вытекают «сильные» утверждения. Хорошей иллюстрацией этого является то, что понятие некоррелированности переходит для гауссовых процессов в понятие статистической независимости. В этом смысле некоррелированность может пониматься просто как слабая статистическая независимость, и если вспомнить о статистическом смысле кумулянтных функций, то подобная интерпретация окажется весьма естественной.

5. В заключение настоящего параграфа приведем ряд формул, связывающих моментные и кумулянтные функции стационарного случайного процесса. Этими формулами мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.

Общие выражения через , легко получаемые из (2.2.2), имеют следующий вид :

(7.1.6)

Если случайный процесс гауссов и , то

Первые четыре кумулянтные функции стационарного случайного процесса выражаются через моментные следующим образом:

(7.1.7)