16.2. Гауссово приближение

1. Оставляя функцию произвольной, ограничимся гауссовым приближением для совокупности , заданной уравнениями (16.1.1), (16.1.2). Эта совокупность является марковской. Ее кинетические коэффициенты на основании равны

(16.2.1)

Чтобы записать уравнения эволюции кумулянтов, необходимо обратиться к § 10.10. Вместе с этим, поскольку мы ограничиваемся гауссовым приближением, нам следует принимать во внимание лишь кумулянты

среди которых и являются заданными. Неизвестными остаются три кумулянта.

Для них согласно (10.10.7), (10.10.8), (16.2.1) получим следующие уравнения:

Здесь знаком отмечено, что средние берутся по гауссовой совокупности . Вычисляя эти средние, мы придем к замкнутой системе трех уравнений для .

Установившиеся значения этих кумулянтов определяются соотношениями

(16.2.2)

Здесь мы воспользовались формулой (4.7.11).

2. Запишем теперь уравнения для кумулянтных функций установившегося стационарного процесса . В гауссовом приближении следует рассматривать следующие четыре кумулянтные функции:

последняя из которых задана.

Заметим, что если кинетические уравнения для кумулянтных функций записывать и решать только для , то функции и могут получиться совершенно различными, они должны находиться независимо друг от друга.

На основании (10.11.16) получим следующие уравнения :

(16.2.3)

Последнее уравнение удовлетворяется автоматически. Из второго уравнения следует .

Система (16.2.3) распадается на две отдельные, обладающие одинаковым характеристическим уравнением

корни которого позволяют записать и в виде

Здесь через аналогично § 15.2 обозначена полоса нелинейной системы (16.1.1). Входящие сюда коэффициенты легко находятся из начальных условий

Таким образом, ковариационная функция исследуемого процесса, которая в основном нас и интересует, имеет вид

(16.2.4)

Отсюда элементарно находим спектр негауссова случайного процесса в гауссовом приближении:

(16.2.5)

3. Итак, мы записали основные статистические характеристики случайного процесса , полученного в результате нелинейного инерционного преобразования марковского процесса и . Обсудим полученные результаты. Вид найденного спектра позволяет предположить, что в гауссовом приближении нелинейная инерционная система статистически эквивалентна некоторой линейной системе, т. е. что имеет место ситуация, подобная той, с которой мы уже встречались в § 15.2. На эту же мысль наводит и вид уравнений (16.2.3) для ковариационных функций.

Нетрудно убедиться в том, что это действительно так и что линейной системой, эквивалентной (16.1.1), (16.1.2), является система, описываемая уравнениями

(16.2.6)

Отсюда легко получить (16.2.3). Кроме того, из (16.2.6) сразу же следует

(16.2.7)

Если теперь с помощью (16.2.2) выразить через , то легко проверить, что (16.2.5) переходит в (16.2.7).

Таким образом, линеаризованная система (16.2.6) статистически эквивалентна исходной нелинейной системе, если случайный процесс ищется в гауссовом приближении. Вместе с этим, поскольку второе уравнение в обеих системах осталось без изменения, это значит, что гауссово приближение (для совокупности эквивалентно замене нелинейного уравнения

(16.2.8)

линейным

(16.2.9)

4. Последнее обстоятельство весьма важно и интересно. В § 15.1 мы уже указывали на то, что методом кумулянтного анализа, в принципе, можно исследовать нелинейное инерционное преобразование и , представленное уравнением (16.2.9), и для произвольного случайного процесса , а не только для марковского. Если оставаться в рамках гауссова приближения, нетрудно прийти к (16.2.9), не требуя марковости . В самом деле, запишем уравнение для ковариационной функции негауссова стационарного процесса

Используя первую формулу размыкания (7.7.6), получим

Ограничившись гауссовой совокупностью , отсюда сразу же придем к первому уравнению (16.2.3). Аналогичным образом получим и третье уравнение. В свою очередь, эти уравнения при гауссовых однозначно приводят к (16.2.9).

Таким образом, при анализе инерционного нелинейного преобразования (16.1.1) использование гауссового приближения оставляет свободу выбора для уравнения, определяющего гауссов процесс . Так, в частном случае узкополосного процесса , определяемого уравнением

где — гауссов белый шум, мы можем в гауссовом приближении его воздействие на нелинейную инерционную систему статистически эквивалентно представлять линейными уравнениями

которые могут быть решены без особого труда.