14.6. Гауссов входной шум. Ковариационные ряды

1. В предыдущих параграфах мы рассмотрели статистические характеристики нелинейного безынерционного преобразования случайных процессов, имеющих произвольное вероятностное распределение. Все полученные там результаты существенно упрощаются, а развитые методы становятся более мощными и эффективными, если нелинейному преобразованию подвергается гауссов случайный процесс, обладающий всего лишь двумя отличными от нуля кумулянтными функциями.

В этом параграфе мы рассмотрим закономерности трансформации ковариационных и корреляционных функций гауссовых случайных процессов при их безынерционном нелинейном преобразовании как в общем случае, так и на ряде конкретных примеров.

2. Пусть имеется нелинейное преобразование гауссова стационарного случайного процесса с заданным средним значением и ковариационной функцией . Общее выражение для ковариационной функции выходного случайного процесса может быть получено из разложения (14.4.5), коэффициенты которого вычисляются теперь наиболее просто. В самом деле, поскольку находится при условии , то вследствие статистической независимости и

Таким образом, в этом случае коэффициенты разложения не зависят от , и оно принимает наиболее простой вид:

(14.6.1)

Для корреляционной функции соответственно имеем

(14.6.2)

Будем называть ряды (14.6.1), (14.6.2) ковариационными рядами.

Если взаимосвязь между и записывать в виде дифференциальных уравнений, то, согласно (14.4.1), (14.4.2), мы получим те же самые уравнения, начальные условия для которых теперь весьма просты:

(14.6.3)

В формулах для порядок производной , в то время как в формулах для он может принимать и нулевое значение.

При решении конкретных задач можно с одинаковым успехом пользоваться как ковариационными рядами, так и дифференциальными уравнениями (14.6.3).

Мы уже указывали на то, что уравнения (14.6.3) справедливы не только для гауссова процесса . Однако в этом случае вычисление их правых частей, как и начальных условий, нетривиально, и необходимо пользоваться формулами размыкания моментных скобок. Если же есть гауссов процесс, то оперирование с этими уравнениями упрощается и они позволяют находить выходные корреляционные функции для целого ряда нелинейных преобразований достаточно просто [47—49, 62].

Проиллюстрируем теперь использование полученных соотношений для ряда конкретных нелинейных преобразований.

Полиномиальная нелинейность. Пусть нелинейное преобразование имеет вид

(14.6.4)

Поскольку у функции отличны от нуля только первые п производных, то вычисление удобнее выполнять с помощью ковариационных рядов. Имеем

Следовательно, ряд для согласно (14.6.1), (14.6.2) содержит членов, а ряд имеет член:

(14.6.5)

Реальный квадратичный детектор. Всякая характеристика реального детектора около любой рабочей точки всегда может быть представлена в виде степенного ряда (14.6.4).

Если область рабочих напряжений невелика, то можно ограничиться лишь квадратичным членом — первым членом, отвечающим собственно за эффект детектирования:

В этом случае из (14.6.5) получаем

Таким образом, в общем случае квадратичного преобразования ковариационная функция выхода содержит не только слагаемое, пропорциональное , что характерно, собственно, для квадратичного детектирования, но и член, пропорциональный и обусловленный линейным членом в , а также несимметрией входного вероятностного распределения по отношению к точке .

Экспоненциальный детектор. Характеристика этого детектора записывается в виде

Не представляет никакого труда найти среднее значение функции и ее производных:

Тогда согласно (14.6.2)

Суммируя этот ряд, находим

Линейный детектор. Пусть на входе линейного детектора, для которого

действует симметрично распределенный гауссов шум. Имеем

Вычисляя средние значения с помощью (4.6.8), (1.4),найдем

Таким образом, на основании (14.6.2) получаем следующий ряд для корреляционной функции:

(14.6.6)

Трудно сразу догадаться, чему равна сумма этого ряда. Тем не менее эту сумму можно найти, если отыскивать зависимость от с помощью первого дифференциального уравнения (14.6.3), которое всего удобнее записать для значения . В этом случае в правой части уравнения мы получим среднее значение от произведения дельта-функций, которое легко вычисляется с помощью (1.5):

Начальные условия таковы:

Решение полученного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях имеет вид

(14.6.7)

Это выражение и является, как нетрудно проверить, суммой ряда (14.6.6).

Сильный ограничитель. Пусть нелинейная безынерционная система описывается характеристикой (рис. 14.3)

Средние значения производных этой функции при симметричном гауссовом распределении равны

Таким образом, корреляционный ряд (14.6.2) содержит, как это и должно быть из-за симметричности характеристики ограничителя, только нечетные степени :

(14.6.8)

Не представляет труда найти сумму этого ряда с помощью первого дифференциального уравнения (14.6.3). Полагая , имеем

при начальном условии при . Решая это уравнение, находим сумму ряда (14.6.8):

(14.6.9)

Такова корреляционная функция гауссова случайного процесса, прошедшего через сильный ограничитель.

Выходной случайный процесс может принимать только два равновероятных значения: и . Таким образом, этот случайный процесс является ничем иным, как телеграфным сигналом (см. рис. 7.5). Моменты перехода от одного значения к другому определяются моментами перехода гауссова симметричного шума через нуль. Очевидно, что частота перехода процесса через нуль определяется его функцией ковариации , и именно поэтому корреляционные характеристики выхода существенно зависят от , что и отражено формулой (14.6.9).

Из этой же формулы следует, что телеграфный сигнал может иметь практически любую корреляционную функцию, ибо по заданной на основании (14.6.9) всегда можно построить ковариационную функцию порождающего гауссова процесса как

Рис. 14.3.

Слабый ограничитель. Характеристика такого ограничителя записывается в виде

Вследствие нечетности функции отличными от нуля при симметричном гауссовом входе будут средние значения только нечетных производных, и для первых двух из них можно найти

где

Тогда первые члены ковариационного ряда (14.6.2) имеют вид

(14.6.10)

Сумму этого ряда найти не удается. Характерным параметром слабого ограничителя является , определяющий зону линейности. Отношение этого параметра к существенно влияет на вид преобразованного шума.

Если , то подавляющее большинство значений, принимаемых входным шумом, лежит в линейной области характеристики, и наличие ограничителя практически никак не сказывается на выходном шуме. По этой причине

как и следует из (14.6.10), ибо при функция , а плотность вероятности пренебрежимо мала.

Когда имеется обратная ситуация , зона линейности ограничителя слабо сказывается на характеристиках выходной переменной, ибо время пребывания в этой зоне весьма мало. В этом случае слабый ограничитель фактически переходит в сильный, и согласно (14.6.8) первые два члена ряда должны иметь вид

Нетрудно проверить, что именно к этому и сводится ряд (14.6.10), ибо при

3. Вышеприведенные примеры показывают, что ковариационный ряд (14.6.2) можно использовать для приближенного определения , если его сумма неизвестна и если этот ряд можно оборвать на каком-либо члене. Последнее всегда можно сделать, если функция достаточно мала, что, в свою очередь, имеет место при больших значениях . Итак, первые члены ковариационных рядов (14.6.1), (14.6.2) дают возможность получить приближенное значение или при достаточно больших . Нетрудно понять, что должно быть большим в сравнении с — с временем корреляции входного случайного процесса.

Следовательно, при произвольном нелинейном безынерционном преобразовании при корреляционная функция выхода имеет приближенное значение

4. Вместе с этим может возникнуть задача нахождения значения при малых в сравнении с . В этом случае на основании (14.6.3) может быть построен видоизмененный ковариационный ряд, выражающий через степени , первые члены которого и дадут значение при малых . Так как

то мы сразу же можем записать следующее выражение для видоизмененного ковариационного ряда [63]:

(14.6.11)

Нетрудно убедиться, что оба ковариационных ряда (14.6.2) и (14.6.11) фактически эквивалентны, поскольку представляют степенные ряды одной и той же функции, взятые лишь в окрестностях различных точек: первый ряд в окрестности , второй — в окрестности .

Ограничиваясь первыми членами, имеем, таким образом, для малых в сравнении с :

(14.6.12)