2.7. Свойства совместных кумулянтов

1. Рассмотрим теперь совместные кумулянты двумерного вероятностного распределения и найдем ограничения, налагаемые на их значения. Как и в предыдущем параграфе, будем работать с кумулянтными коэффициентами [см. (2.4.4)]

полагая .

Используем опять неравенство Коши—Буняковского, которое для совокупности двух случайных величин запишем в виде

(2.7.1)

и будем варьировать показатели степени .

Свойства одного из кумулянтных коэффициентов, а именно, коэффициента корреляции, мы уже указали в § 1.4. Этот коэффициент по абсолютной величине не должен превышать единицу:

(2.7.3)

2. Полагая в (2.7.1) , найдем

откуда следует

(2.7.3)

Меняя местами нижние индексы, получим

(2.7.4)

Итак, мы отыскали неравенства, связывающие совместные кумулянтные коэффициенты второго, третьего и четвертого порядков. Эти неравенства указывают область существования кумулянтов в трехмерном пространстве , лежащую над гиперболическим параболоидом и ограниченную двумя плоскостями . Совмещая (2.7.2) с (2.7.3), (2.7.4) и исключая придем к

(2.7.5)

Отсюда следует, в частности, что всегда . В то же время общий вид нижней границы для на основании (2.7.3) таков: . Для некоррелированных случайных величин .

3. Подставляя в (2.7.1) , раскрывая кумулянтные скобки и меняя порядок индексов, получим

(2.7.6)

Заметим, что согласно (2.6.2) в этих неравенствах и можно заменить на . Из (2.7.6) следует интересный вывод об ограничении совместных кумулянтов кумулянтами одномерных распределений. Так, если принимают граничные значения, равные , то все кумулянты третьего порядка должны обращаться в нуль: .

4. Записывая неравенство Коши—Буняковского в виде

придем к неравенству

(2.7.7)

которое дает ограничение на и сверху и снизу значениями кумулянтов одномерного распределения.

Если одномерные кумулянты четвертого порядка принимают граничные значения, равные , то и, следовательно, принадлежит интервалу [-2, 0].

Если случайные величины по отдельности гауссовы , то совместный кумулянт подчиняется неравенствам

Таким образом, в общем случае совокупность двух гауссовых случайных величин может быть негауссовой (ср. с § 1.5). Если гауссовы случайные величины к тому же и некоррелированы, то .

Ограниченность по модулю вследствие (2.7.3), (2.7.4) приводит к ограниченности совместных кумулянтов третьего порядка:

Это неравенство вместе с (2.7.6) показывает общую область определения для совместных кумулянтов третьего порядка, которая, как видно, совершенно не зависит от значений .

5. Для рассмотрения свойств совместных кумулянтов запишем неравенство Коши—Буняковского в виде

что приведет нас к

(2.7.8)

Таким образом, рассматриваемые кумулянты ограничены и сверху и снизу опять же кумулянтами одномерных распределений, но теперь уже более высоких порядков.

Объединяя (2.6.2) и (2.7.8), можно установить следующие неравенства:

Исходя из неравенства

можно получить ограничение на совместные кумулянты определяемое только кумулянтами не выше четвертого порядка:

(2.7.9)

Если случайные величины гауссовы, то .

6. Выше, в § 1.5, мы рассматривали совокупность двух негауссовых случайных величин, у которой был отличен от нуля лишь один совместный кумулянт . Подобная ситуация, как легко видеть, не противоречит полученным неравенствам. Вместе с тем, равенство нулю всех остальных совместных кумулянтов накладывает на дополнительные к (2.7.2) ограничения. Так, из (2.7.7) следует, что должно быть

(2.7.10)

При положительных это неравенство не вносит дополнительных ограничений на однако если , то (2.7.10) дает более жесткие условия, чем (2.7.2). Если же одномерные распределения таковы, что имеют граничные значения, равные , то коэффициент корреляции должен быть равен нулю (случайные величины должны быть независимы).

Из (2.7.8) следует еще одно ограничение на :

которое учитывает значение одномерных кумулянтных коэффициентов третьего, четвертого и шестого порядков.

7. Для совокупности двух случайных величин также существует граничное распределение, для которого неравенство Коши—Буняковского становится равенством. Им является двумерное распределение бинарной альтернативы

(2.7.11)

Таким образом, неравенства (2.7.1) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы величины могли быть кумулянтными коэффициентами некоторою двумерного вероятностного распределения.

Исследуя граничное распределение (2.7.11), можно получить следующие неравенства для совместных кумулянтных коэффициентов вида :

В то же время коэффициенты могут в общем случае принимать любые значения (их связь с подобна связи с . Сравнивая полученные неравенства с (2.6.11) и проводя дальнейший анализ, можно обнаружить, что все кумулянтные коэффициенты вида имеют те же нижние границы, что и одномерные коэффициенты порядка .

По-видимому, это обстоятельство распространяется и на многомерные распределения: абсолютные ограничения снизу имеют только совместные кумулянтные коэффициенты вида , их нижние границы совпадают с границами одномерных кумулянтных коэффициентов, имеющих порядки соответственно.

8. Итак, проведенный в двух последних параграфах краткий анализ возможных значений кумулянтов и их взаимоотношений показал, что в бесконечномерном пространстве кумулянтов имеется определенное подпространство, назовем его -множеством, точкам которого соответствует положительная определенность характеристических функций. Другими словами, каждой точке -множества, представленной бесконечным набором кумулянтов, соответствует некоторое вероятностное распределение.

Выше мы уже указывали на то, что кумулянты могут считаться в определенной степени независимыми координатами вероятностного распределения. Теперь смысл слов «в определенной степени» становится совершенно прозрачным. А именно, если кумулянты принадлежат области допустимых значений, т. е. принадлежат -множеству, то только внутри этого множества они и могут выбираться независимо друг от друга.

Вряд ли надо пояснять, что дальнейшее исследование структуры и границ таких -множеств представляется чрезвычайно интересным и важным не только с теоретико-вероятностных позиций, но и для всех прикладных задач, имеющих дело с кумулянтным представлением случайных переменных.