6.3. Временные характеристики случайного процесса

1. Особенности, присущие случайному процессу, рассматриваемому в N моментах времени и отличающие его от совокупности N случайных величин, проявляются, очевидно, в тех или иных зависимостях его статистических характеристик от параметров , т. е. в его временных характеристиках. Определяющую роль при этом играют временные зависимости кумулянтных функций случайного процесса.

Основную особенность этих зависимостей мы сейчас и рассмотрим.

2. Одномоментное распределение случайного процесса определяется кумулянтами . Поэтому вся специфика случайного процесса сказывается здесь в характере зависимости кумулянтов от времени. Насколько кумулянтны случайной величины могут быть произвольными (см. § 2.6), настолько разные кумулянты могут различным образом зависеть от времени.

В частном случае кумулянты случайного процесса могут вообще не зависеть от времени. Тогда одномерная плотность вероятности случайного процесса уже ничем не будет отличаться от плотности вероятности случайной величины. Эта ситуация имеет место, например, для стационарных случайных процессов (см. ниже гл. 7). Таким образом, одномоментное распределение в некоторых случаях может вообще не отразить специфику случайного процесса.

3. Обратимся к двумоментному распределению случайного процесса . Это распределение представляется кумулянтными функциями

первого порядка:

второго порядка:

третьего порядка:

s-го порядка:

Исключив отсюда кумулянтные функции одномоментного распределения, получим набор кумулянтных функций, характерных именно для случайного процесса:

(6.3.1)

Согласно статистическому смыслу кумулянтных функций полный набор (6.3.1) описывает все степени статистической связи значений случайного процесса, взятых в моменты .

Если и таковы, что и статистически независимы, например, и очень далеки друг от друга, то . С другой стороны, при кумулянтные функции (6.3.1) переходят в кумулянты одномоментного распределения, рассматриваемого в момент , и в общем случае все они отличны от нуля.

Тем самым, можно ввести время статистической зависимости случайного процесса , определив его так, чтобы при можно было полагать, что для всех

Совершенно ясно, что каждой кумулянтной функции из набора (6.3.1) соответствуют свои . Величины являются временами статистической зависимости -го порядка. Они определяют интервалы, на которых исчезает статистическая связь того же порядка, и в общем случае все различны. Поэтому за время статистической зависимости случайного процесса в целом можно принять .

Интервал , соответствующий ковариационной функции , называется временем корреляции случайного процесса. На этом времени исчезает линейная статистическая связь значений случайного процесса .

При количественном определении удобнее оперировать, конечно, с нормированными кумулянтными функциями (6.2.11). Для двумоментного распределения случайного процесса они принимают вид

(6.3.2)

и при возрастании изменяются от значения, равного нуля. За время статистической зависимости 0S можно, например, принять такой интервал на котором (6.3.2) становится равной .

4. Для кумулянтных функций , соответствующих многомоментному представлению случайного процесса, также можно установить интервалы статистической зависимости. Таких интервалов для каждой кумулянтной функции будет всего , и при этом все они могут быть различными. Примеры количественного определения этих интервалов мы приведем ниже при рассмотрении стационарных случайных процессов.