4.2. Линейные преобразования

1. Пусть совокупность случайных величин подвергается линейному преобразованию

(4.2.1)

заданному матрицей , т. е. :

(4.2.2)

Усредняя обе части (4.2.2), получим

(4.2.3)

Так преобразуются кумулянты первого порядка. Если ввести векторы-столбцы первых кумулянтов, то (4.2.3) примет вид векторного преобразования . Итак, средние значения преобразуются как сами случайные величины.

Обратимся к кумулянтам второго порядка

Используя свойства кумулянтных скобок, получим

(4.2.4)

Выходные кумулянты второго порядка, как и средние, являются линейной комбинацией входных кумулянтов. Если использовать ковариационную матрицу (см. § 2.3)

то преобразование (4.2.4) может быть записано в матричной форме:

(4.2.5)

Для корреляционной матрицы — матрицы вторых моментов

также получим аналогичное соотношение .

Для кумулянтов третьего порядка на основании свойств (2.3.1)

В общем случае

(4.2.6)

Итак, выходной набор кумулянтов -гo порядка для линейной системы определяется входным набором кумулянтов того же -гo порядка. Это значит, что линейное преобразование обладает кумулянтной инвариантностью. Ее смысл следующий: если у случайной величины все кумулянты, скажем, -го порядка равны нулю, то и у кумулянты того же -го порядка будут равными нулю.

Отсюда в качестве тривиального вывода получаем известное свойство гауссовых случайных величин: при любом линейном преобразовании гауссова совокупность остается гауссовой.

Закон преобразования кумулянтов (4.2.6) справедлив и для моментов:

По такому закону преобразуются произведения векторных компонент при линейном преобразовании координат. А это значит , например, , что так же как и могут считаться компонентами некоторого симметрического тензора ранга . По этой причине кумулянт и момент порядка можно считать тензорами ранга .

Таким образом, при линейном преобразовании случайных величин их кумулянты и моменты преобразуются как тензоры.

2. Если случайные величины статистически независимы, то все их совместные кумулянты равны нулю. В этом случае все тензоры-кумулянты примут диагональный вид, в том числе и ковариационная матрица.

Из теории матриц известно , например, , что всякую недиагональную матрицу с помощью некоторой невырожденной матрицы можно привести к диагональному виду преобразованием .

Поскольку это преобразование совпадает с (4.2.5) и поскольку случайные величины, для которых ковариационная матрица диагональна, являются по определению взаимно некоррелированными, постольку любой набор случайных величин может быть с помощью некоторого линейного преобразования сведен к другому набору уже некоррелированных случайных величин .

Так как обратное преобразование также линейно, то случайные величины всегда могут быть представлены в виде суперпозиции некоррелированных случайных величин .

3. Чтобы от произвольной матрицы с помощью невырожденной матрицы А можно было перейти к диагональной матрице , необходимо на матрицу наложить условий:

Если же дополнительно потребовать, чтобы преобразование было ортогональным, т. е. чтобы было единичной матрицей, то мы получим еще условий:

Тем самым для коэффициентов будет условий.

Следовательно, из всех ортогональных преобразований существует только единственное, приводящее к некоррелированным . Если же не требовать ортогональности преобразований, то коэффициентов могут выбираться произвольно.

Возьмем, например, для двумерных случайных величин следующее преобразование:

(4.2.7)

матрица которого, как легко проверить, невырождена. Условие не коррелированное и приводит к

Таким образом, представление

выражает произвольные случайные величины через некоррелированные .

Афинное преобразование (4.2.7) легко распространяется и на -мерные случайные величины. Матрица такого преобразования

(4.2.8)

всегда невырождена, а ее детерминант всегда положителен [45]. Поэтому коэффициенты этой матрицы могут быть найдены однозначно из условий некоррелированности (если, конечно, ранг распределения равен ). Расчет показывает, что

(4.2.9)

где — алгебраическое дополнение элемента матрицы , а — определитель этой матрицы.

Таким образом, матрица (4.2.8) с коэффициентами (4.2.9) всегда приводит ковариационную матрицу к диагональной форме. Заметим, что построение некоррелированных с помощью матрицы (4.2.8) совпадает с построением системы ортогональных векторов методом ортогонализации Грама—Шмидта [45].