12.5. Суперпозиция негауссовых процессов
1. Суперпозиция (взвешенная сумма) случайных процессов является простейшей линейной операцией над процессами. Определим кумулянтные функции этой суммы. Начнем рассмотрение с суперпозиции двух случайных процессов
предполагая заданными кумулянтные функции их стационарной совокупности 
:
На основании свойств кумулянтных скобок имеем
(12.5.1)
Если ввести скобки симметризации и симметризацию вести по сочетаниям аргументов, например,
то из (12.5.1) получим следующие формулы для первых четырех кумулянтных функций суперпозиции:
(12.5.2)
Кумулянтная функция произвольного порядка примет вид
(12.5.3)
Поскольку 
является симметрической функцией всех аргументов, то такой же функцией должна быть и правая часть (12.5.3). Нетрудно видеть, что группировка правой части по скобкам симметризации как раз и представляет собой группировку по симметричным выражениям, ибо всякая скобка симметризации вместе с множителем, стоящим перед ней, является симметрической функцией всех входящих в нее аргументов независимо от их разделения на группы.
При 
, когда кумулянтные функции переходят в кумулянты, формула (12.5.3) при 
, как и должно быть, переходит в формулу (4.3.1), дающую значение кумулянтов суммы двух случайных величин.
2. Если имеется суперпозиция многих случайных процессов
то для нахождения кумулянтных функций 
необходимо, очевидно, задаться всеми кумулянтными функциями совокупности (здесь через обозначены двухиндексные переменные):
Если все эти совместные кумулянтные функции заданы, то кумулянтные функции суммы равны
(12.5.4)
Каждое слагаемое этой суммы представляет собой скобку симметризации, содержащую 
членов и являющуюся симметрической функцией всех входящих в нее аргументов.
При 
формула (12.5.4) переходит в (4.3.2).
В случае, когда суммируются статистически независимые случайные процессы, для которых все совместные кумулянтные функции тождественно равны нулю, из (12.5.4) следует, что
Таким образом, кумулянтные функции суммы статистически независимых процессов равны сумме кумулянтных функций самих процессов [ср. с (4.3.3)].
