6.5. Совокупность случайных процессов

1. Рассмотрим совокупность двух случайных процессов . Совместную -моментную плотность вероятности этой совокупности запишем в виде

где

Основной интерес, возникающий при рассмотрении совокупности случайных процессов, относится к вопросам их взаимосвязи. Если плотность вероятности распадается на произведение

для любых , то говорят, что случайные процессы и статистически независимы. В противном случае между процессами имеется какая-либо статистическая связь.

2. Характеристическая функция совокупности двух случайных процессов

как и ее логарифм, может быть разложена в степенные ряды по и . Коэффициенты этих рядов определяются моментными и кумулянтными функциями совокупности.

Для совместных кумулянтных функций введем четырехиндек-совое обозначение Первый нижний индекс относится к первому верхнему индексу и показывает число моментов времени первого случайного процесса. Второй нижний индекс соответствует второму процессу. Сумма определяет порядок кумулянтной функции.

Согласно (1.6.2) кумулянтные функции совокупности двух случайных процессов равны

(6.5.1)

где . Условимся, что первая группа моментов времени в аргументе кумулянтной функции всегда будет относиться к первому верхнему индексу — первому случайному процессу, вторая — ко второму индексу. Штрих у моментов времени второго случайного процесса в последующем часто будем опускать.

Если случайные процессы статистически независимы, то все совместные кумулянтные функции обращаются в нуль, и, наоборот, если все , то случайные процессы и статистически независимы. Поэтому степень статистической связи двух случайных процессов определяется отличными от тождественного нуля совместными кумулянтными функциями.

Совместная кумулянтная функция второго порядка одна: . Она описывает линейную статистическую связь, существующую между и . Ее диаграмма имеет следующий вид:

Совместных кумулянтных функций, соответствующих статистическим связям второго порядка менаду и , две:

Их диаграммы таковы:

Приведем также диаграммное изображение трех совместных кумулянтных функций четвертого порядка, представляющих связи третьего порядка:

Отличительным признаком подобных диаграмм любых совместных кумулянтных функций служит наличие хотя бы одной связи между верхней и нижней линиями, т. е. между случайными процессами и . Будем называть такие связи вертикальными.

3. Аналогично (6.5.1) определяются и моментные функции совокупности двух случайных процессов:

Если и p, и s отличны от нуля, то мы также имеем дело с совместными моментными функциями.

С помощью кумулянтных диаграмм нетрудно выразить совместные моментные функции через кумулянтные. Например, из легко получаемой диаграммы

следует, что

Симметризация идет здесь по моментам , а в зависимости от них пишутся уже и индексы. Из этой же диаграммы с очевидностью следует, что если процессы и статистически независимы, то слагаемых c вертикальными связями не будет и предыдущая диаграмма переходит в

В этом случае

что и должно быть на основании второй формулы (6.2.10).

4. Совместная кумуляптная функция второго порядка

(6.5.2)

называется совместной ковариационной функцией случайных процессов и .

Совместная моментная функция второго порядка

называется совместной корреляционной функцией. Между этими функциями существует очевидная взаимосвязь:

(6.5.3)

Заметим, что первый аргумент введенных функций всегда будет относиться к первому индексу, а второй аргумент — ко второму. Ясно, что

Случайные процессы и называются некоррелированными, если для всех и совместная ковариационная функция равна нулю. В противном случае процессы считаются коррелированными.

5. Для совокупности случайных процессов также, в принципе, несложно определить и построить бесконечный набор кумулянтных функций, представляющих данную совокупность. Вместе с этим основное значение для такой совокупности будут иметь кумулянтные функции первого и второго порядков , которое удобно представить вектором (столбцом) средних значений и ковариационной матрицей

Полезно также ввести корреляционную матрицу случайного векторного процесса :

(6.5.4)

обладающую компонентами . Ковариационная и корреляционная матрицы имеют следующее важное свойство:

(6.5.5)