16.6. Учет эксцессного приближения

1. Рассмотрим теперь подробнее эксцессное приближение для совокупности , предположив для простоты, что из всех совместных кумулянтов отличен от нуля только . Нам необходимо отыскать кумулянты . Будем исходить из системы уравнений (16.5.3). Для этих кумулянтов получим

Уравнения для установившихся значений кумулянтов в эксцессном приближении принимают вид

Выбирая в качестве основного переменного опять же полосу системы , имеем

(16.6.1)

Полоса при этом определяется уравнением

(16.6.2)

Сравнивая эти выражения с (16.4.4), (16.4.5), видим, что учет эксцессного приближения привел к изменению значения полосы, к изменению дисперсии и ковариации , а также к появлению отличного от нуля четвертого кумулянта.

Решение уравнения (16.6.2) для полосы может быть выражено с помощью функции , введенной в § 16.4: .

Таким образом, получаем следующие значения кумулянтов негауссова выходного случайного процесса в эксцессном приближении:

Как и ранее, все определяется значением индекса шума.

2. При малом индексе шума, когда

Дисперсия по сравнению с гауссовым приближением увеличилась в раза, в то время как ковариация осталась без изменений. Условие широкополосности приняло вид

Важным обстоятельством оказалось увеличение полосы. Это связано с тем, что хотя связь полосы с дисперсией и осталась без изменений, несколько изменилось само значение дисперсии. И это связано именно с учетом эксцессного приближения. Если бы мы захотели учесть следующее приближение — приближение шестого порядка, то мы бы получили еще одну поправку на значение полосы.

Тем не менее, условие широкополосности воздействия выглядело бы по-прежнему как .

При большом индексе воздействующего шума, когда

Здесь также произошли небольшие численные изменения полосы, дисперсии и ковариации по сравнению с гауссовым приближением, а кроме того, появился отличный от нуля четвертый кумулянт, значение которого подтверждается общей формулой (16.5.11).

Условие квазистатичности в эксцессном приближении имеет вид

Таким образом, качественные зависимости полосы, дисперсии и ковариации от индекса шума остались такими же, как и для гауссова приближения, и вся разница между эксцессным и гауссовым приближением носит лишь количественный характер. Этот пример еще раз подтверждает, что гауссово приближение дает нам в руки важную и качественно верную информацию о статистических характеристиках изучаемого случайного процесса.

3. Рассмотрим теперь структуру спектра выходного случайного процесса в эксцессном приближении. Чтобы найти , надо знать Для отыскания ковариационной функции

дует решить систему уравнений для кумулянтных функций марковской совокупности . Как и ранее, в этом параграфе при учете эксцессного приближения мы будем полагать отличными от тождественного нуля только три кумулянтные функции

Уравнения для этих кумулянтных функций записываем на основании (10.11.17) — (10.11.19), учитывая, что

В результате, используя свойства кумулянтных скобок, получим

Раскрывая кумулянтные скобки и принимая во внимание значения установившихся кумулянтов (16.6.1), запишем уравнения для искомых кумулянтных функций в следующем окончательном виде:

(16.6.3)

Предполагая, что все кумулянтные функции пропорциональны (мы всюду рассматриваем ), для получаем характеристическое уравнение третьей степени

корни которого равны

где .

Следовательно (учитывая также независимость второго уравнения (16.6.3) от остальных), получаем следующий вид для кумулянтных функций:

(16.6.4)

Входящие сюда безразмерные коэффициенты которые, как можно показать, зависят только от , без особого труда могут быть определены из начальных условий, аналогичных (10.8.16). Мы не будем приводить их здесь в силу громоздкости выражений, а лишь проанализируем полученную ситуацию, отметив прежде всего, что в соответствии с первой формулой (16.6.4) спектр выходной переменной имеет вид

При изменении 6 соотношение между тремя компонентами ковариационной функции и спектра может сильно меняться.

4. К чему привел учет эксцессного приближения по сравнению с гауссовым приближением в отношении корреляционной функции и спектра исследуемого негауссова случайного процесса .

Прежде всего, если ранее было два значения времени корреляции , то теперь случайный процесс обладает тремя временами корреляции, последнее из которых, представляющее время корреляции воздействующего шума, осталось, естественно, без изменений, в то время как первое значение «расщепилось» на два, отличающихся между собой на порядок:

Максимальное время корреляции при этом изменилось не столь существенно. Если интересоваться полным временем корреляции, то оно определяется взаимоотношением всех трех компонент ковариационной функции:

Столь же значительным образом зависит от взаимоотношения функций , а следовательно, от значения и вид спектра , который имеет теперь три слагаемых резонансной формы с шириной соответственно . Кроме изменения ковариационной функции и спектра, учет эксцессного приближения привел к отличной от нуля эксцессной функции и, следовательно, к появлению времени статистической зависимости третьего порядка, которое можно определить как

и величина которого также зависит от значения относительной системы .

В случае малого индекса шума, когда , получим

Эти значения приводят к тому, что в кумулянтных функциях негауссова процесса основную роль играет лишь первое слагаемое, и мы приближенно имеем

Времена корреляции и статистической зависимости третьего порядка соответственно равны

а спектр имеет вид

При малом индексе воздействующего шума учет эксцессного приближения привел к некоторому увеличению времени корреляции (и к уменьшению полосы спектра) и появлению времени статистической зависимости третьего порядка, которое близко к значению времени корреляции.

Если индекс воздействующего шума принимает большие значения

В этом случае кумулянтные функции и спектр определяются третьими слагаемыми, и мы приближенно имеем

Таким образом, при большом индексе шума входного процесса учет эксцессного приближения, не изменив вида ковариационной функции и спектра, изменил лишь значение дисперсии , следовательно, полосы системы). При этом существует отличная от нуля эксцессная функция, а время статистической зависимости третьего порядка, совпадая с временем корреляции, полностью определяется временем корреляции воздействующего шума, как это, очевидно, и должно быть при квазистатическом воздействии.

В случае произвольного значения спектр имеет, конечно, более сложную структуру, и картины эволюции спектра, соответствующие рис. 16.2 и 16.3, при учете эксцессного приближения примут еще более сложный и замысловатый вид.