14.2. Преобразование характеристик одномоментного распределения

1. Пусть входное одномоментное распределение случайного процесса представлено набором кумулянтов . Очевидно, что любая статистическая характеристика выходного распределения зависит от , в том числе его моменты и кумулянты. Требуется отыскать эти зависимости. Поставленная задача, в принципе, решается несложно, если воспользоваться результатами § 3.2 и 4.5, полученными для случайных величин, и распространить их на случайные процессы. Эта операция производится без труда, ибо случайный процесс представляет собой ту же случайную величину, но зависящую от параметра. И так как кумулянтные уравнения при этом не изменяют своего вида вследствие того, что дифференцирование в них производится лишь по кумулянтам и по случайной переменной, то они могут быть непосредственно записаны и для случайных процессов.

Таким образом, если случайный процесс задан набором своих кумулянтов , то производная среднего значения функции от случайного процесса по этим кумулянтам на основании (3.2.2) равна

Аналогичным образом вместо, например, (3.2.3), (3.2.4) мы можем использовать формулы

2. Подобные формулы позволяют сразу же написать уравнения для произвольных моментов «выхода» безынерционного преобразования , связывающие их с кумулянтами входного распределения. В самом деле, полагая , получаем [ср. с (4.5.1)]

и вообще

Как уже указывалось, полученные выражения носят характер дифференциальных уравнений, решая которые при определенных начальных условиях можно найти зависимость от . Естественно возникает вопрос: не легче ли непосредственно вычислять по заданному распределению вместо того, чтобы решать дифференциальные уравнения? В некоторых наиболее простых ситуациях это, разумеется, так. Однако часто именно путь кумулянтных уравнений скорее приводит к цели, тем более, что в ряде случаев искомое среднее сравнительно просто можно найти в виде ряда по степеням .

Точно так же для нахождения каких-либо других параметров выходного распределения, в том числе и его кумулянтов, мы можем привлечь результаты четвертой главы и сразу же получить интересующие нас характеристики.

3. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих использование полученных формул.

Пример 14.2.1. Если имеется нелинейное преобразование , то с помощью (3.2.7) элементарно получаем моменты выходного процесса, выраженные через входные кумулянты

Пример 14.2.2. Найдем взаимосвязь между дисперсией случайного процесса , подвергнутого нелинейному преобразованию и кумулянтами входа. Используя вторую формулу (4.5.5), имеем

(14.2.1)

Отсюда, в частности, получаем [ср. с (4.5.6)]

(14.2.2)

Пример 14.2.3. Если преобразование является квадратичным: , то с помощью формул (14.2.1), (14.2.2) легко находим следующее выражение для дисперсии выхода:

(14.2.3)

Напомним, что это выражение справедливо для любого вероятностного распределения входного случайного процесса . И вместе с тем, как следует из (14.2.3), на дисперсию выхода оказывают влияние только первые четыре кумулянта входного распределения независимо от того, какие значения принимают все остальные.

Полученное значение дисперсии, конечно, может быть найдено, в принципе, и из вероятностного распределения выходной переменной :

Однако, как очевидно, непосредственное вычисление дисперсии и тем более высших кумулянтов с помощью при произвольном распределении встречает большие трудности.

4. Отыскание статистических характеристик выхода нелинейного преобразования упрощается, если входное распределение можно заменять модельным, и тем более упрощается, если оно является гауссовым. В первом случае любое среднее можно разложить в многомерный степенной ряд по отличным от нуля кумулянтам, а во втором — в одномерный ряд по дисперсии согласно (4.6.5) — (4.6.7). Так, например, при гауссовом входе , выходной процесс имеет следующее значение среднего:

и среднего квадрата

а любой его момент удовлетворяет дифференциальному уравнению

с начальными условиями