12.6. Преобразование пуассоновского процесса

1. Хотя задача о преобразовании вероятностных распределений линейными инерционными системами в принципе и решена с помощью соотношений (12.1.3) или (12.1.7), дающих преобразование кумулянтных функций, тем не менее, не конкретизируя входное распределение, мало что можно практически извлечь из этих соотношений в общем случае. Это относится и к поставленному в § 12.1 вопросу о том, насколько линейная система нормализует или денормализует вероятностные распределения.

Чтобы как-то продвинуться на пути решения этого интересного и практически важного вопроса, целесообразно ограничиться каким-либо конкретным входным случайным процессом, таким, который позволит вышеупомянутые формулы свести к ясным и четким взаимоотношениям между кумулянтами. В качестве такого конкретного входного процесса мы возьмем пауссоновский случайный процесс (см. § 7.4). Задача о прохождении пуассоновского процесса через линейные системы описывает весьма распространенную реальную ситуацию прохождения шумов через различные усилители, фильтры и т. п.

2. Итак, пусть представляет собой стационарный пуассоновский процесс:

(12.6.1)

являющийся случайной суперпозицией элементарных импульсов

.

Кумулянтные функции этого пуассоновского процесса, согласно (7.4.8), равны

(12.6.2)

Отыщем кумулянтные функции выходного процессах , связанного с соотношением (12.1.6):

Подставляя (12.6.1) в этот интеграл и вводя обозначение

(12.6.3)

получим кумулянтные функции выходного также стационарного процесса :

(12.6.4)

Сравнивая (12.6.4) с (12.6.2), видим полное совпадение структур этих кумулянтных функций с той лишь разницей, что вместо стоит . Эта замена имеет чрезвычайно простое и ясное объяснение. А именно, поскольку система линейна и поскольку ее вход (12.6.1) представляет собой суперпозицию случайно возникающих импульсов, то очевидно, что на выходе этой системы мы также будем иметь суперпозицию случайно возникающих импульсов с тем же законом появления импульсов во времени, которые, однако, имеют уже другую форму. Эта новая форма импульсов есть не что иное, как реакция линейной системы на элементарный импульс входа, и именно поэтому выходной импульс описывается формулой (12.6.3). Следовательно, на выходе рассматриваемой системы мы получаем также пуассоновский процесс

(12.6.5)

кумулянтные функции которого равны (12.6.4).

Таким образом, задавая форму входного элементарного импульса и переходную функцию линейной системы , мы можем получить исчерпывающую информацию о входном и выходном распределениях.

Полагая , из (12.6.2) и (12.6.4) получаем следующие выражения для кумулянтов:

(12.6.6)

Введем обозначения

и запишем характерные времена

(12.6.7)

Тогда кумулянты (12.6.6) могут быть записаны в виде

(12.6.8)

Чтобы можно было сравнивать между собой входное и выходное распределения, примем для простоты, что , и рассмотрим кумулянтные коэффициенты

(12.6.9)

3. Для выяснения характера изменения кумулянтных коэффициентов пуассоновского процесса при прохождении его через инерционную линейную систему, составим отношение одних и тех же кумулянтов на выходе и входе системы:

(12.6.10)

Здесь случайному процессу приписан индекс «вых», а процессу — индекс «вх».

Рассмотрим подробнее характерные времена (12.6.7), которые по существу представляют собой различные длительности элементарного импульса. Для всех форм импульсов, отличающихся от прямоугольных, конечно, различны. Особенно могут сильно отличаться между собой длительности для четных и нечетных . С другой стороны, все , отличаются друг от друга не столь существенно, и если интересоваться лишь порядком их величины, то можно полагать .

Кроме того, следует заметить, что поскольку и равны единице, постольку всегда будет справедливым неравенство . Поэтому, полагая мы берем верхние границы «четных» длительностей. Аналогичная ситуация имеет место и для «нечетных» длительностей.

В общем случае . Полагая мы опять возьмем верхнюю границу и правильно оценим порядок нечетных длительностей.

В соответствии с этим точные выражения (12.6.10) мы можем заменить следующими приближенными:

(12.6.11)

Из этих формул с очевидностью следует, что основным фактором, влияющим на преобразование вероятностного распределения, является отношение длительностей элементарных импульсов на входе и выходе системы. В зависимости от того, укорачиваются они или удлиняются или остаются по порядку величины без изменений, будет тем или иным образом деформироваться одномоментное распределение вероятностей.