12.7. Нормализация негауссова распределения

1. Пусть имеется некоторая линейная система, описываемая переходной функцией и преобразующая — входной элементарный импульс пуассоновского случайного процесса — в выходной импульс . Пусть для простоты вероятностное распределение амплитуд импульсов является симметричным, так что . Тогда, в соответствии с (12.6.8), (12.6.9), все нечетные кумулянты и кумулянтные коэсЭДшциенты равны нулю. Значит, выходное вероятностное распределение также является симметричным. Будем, кроме того, писать вместо . Деформация вероятностного распределения линейной инерционной системой определяется первым соотношением (12.6.11):

(12.7.1)

Пусть линейная система такова, что , тогда

В этом случае говорят, что имеет место эффект нормализации случайного процесса, поскольку все высшие кумулянты на выходе меньше, чем на входе.

Если же система такова, что достаточно велико по сравнению с , то выходной процесс будет иметь практически гауссово распределение независимо от вероятностного распределения на входе.

2. Обсудим теперь, какими свойствами должна обладать линейная система, чтобы реализовался эффект нормализации, и какова физическая природа этого эффекта.

Что делает линейная система с длительностью элементарного импульса? Если эта система безынерционна, то не изменится, и в этом случае . Если же система инерционна, то очевидно, что изменится. Рассмотрим характерное время системы — время релаксации(11.2.5)

и различные соотношения между и .

Пусть . В этом случае

Таким образом,

Таким образом, случаю соответствует безынерционность системы преобразования.

Если имеет место обратное соотношение , то

Следовательно,

В этом случае мы имеем большую инерционность системы и, как следствие, сильную нормализацию случайного процесса.

Явление нормализации тесно связано с центральной предельной теоремой теории вероятностей (см. § 4.4), согласно которой распределение нормированной суммы статистически независимых «равновкладных» случайных величин стремится к гауссову при увеличении числа членов суммы, независимо от распределения каждого слагаемого.

В самом деле, случайный процесс согласно (12.6.5) представляет собой в каждый данный момент времени сумму стольких членов, сколько их возникает за длительность одного импульса . Легко видеть, что среднее число таких членов равно . Входной процесс также является в каждый данный момент времени суммой слагаемых. Число членов этой суммы, очевидно, равно . Тем самым если , то число слагаемых «выходной суммы» больше числа слагаемых «входной суммы» и, следовательно, в согласии с центральной предельной теоремой распределение выходной суммы должно быть ближе к гауссову, чем распределение входной суммы.

Если же и при этом достаточно велико, то можно считать, что условия центральной предельной теоремы выполнены, и на выходе такой линейной системы имеется практически гауссово распределение.

Таким образом, нормализация пуассоновского процесса линейной инерционной системой происходит потому, что эта система увеличивает длительность элементарного импульса.

И теперь вполне очевидным представляется следующее утверждение. Поскольку линейная инерционная система всегда увеличивает длительность элементарного импульса, т. е. всегда имеет место , постольку линейная инерционная система всегда нормализует случайный пуассоноеский процесс.

Однако, как будет показано в следующем параграфе, это утверждение ложно. Как установлено Л. П. Зачепицкой, могут быть случай, когда , а вместе с тем, никакой нормализации нет; более того, может иметь место даже денормализация, причем все это отнюдь не противоречит центральной предельной теореме теории вероятностей [52, 58, 59].

3. Эффект нормализации случайного процесса линейной инерционной системой, разумеется, не связан с природой самого случайного процесса, и для того, чтобы этот эффект показать, нет необходимости обязательно прибегать к модели пуассоновского входного процесса. Имеются и другие примеры, четко показывающие существование нормализации.

Одним из таких интересных и нетривиальных примеров является нормализация линейной инерционной системой совершенно случайного процесса. Подобная задача возникает при следующем часто встречающемся обстоятельстве. Пусть задана инерционная линейная система преобразования (рассматриваем только установившийся режим):

где — входной совершенно случайный процесс.

Спрашивается, будет ли распределение выходного случайного процесса гауссовым на том основании, что представляет собой сумму бесконечно большого числа статистически независимых слагаемых? Рассмотрение, проведенное в § 12.3, показало, что ответ на этот вопрос может быть отрицательным. Как же тогда следует понимать нормализацию, которая обязательно должна иметь место в этом случае, ибо ее условие заведомо выполнено ? Для того, чтобы разобраться в возникшей ситуации, обратимся к двум примерам.

Пример 12.7.1. Пусть , а совершенно случайный негауссов стационарный процесс обладает кумулянтными функциями (7.4.5):

Кумулянтные коэффициенты такого совершенно случайного процссса все конечны и равны сли теперь вычислить кумулянты вероятностного распределения выходной координаты

(12.7.2)

то получим

Таким образом, в данном случае выходной процесс получился гауссовым, а эффект нормализации проявился в том, что все высшие кумулянтные коэффициенты уменьшились в бесконечное число раз и обратились в нуль.

Пример 12.7.2. Пусть по-прежнему а кумулянтные функции совершенно случайного стационарного негауссова процесса равны

(12.7.3)

В этом случае (12.7.2)

Таким образом, несмотря на то, что на входе линейной инерционной системы мы имеем сколь угодно быстрый случайный процесс, все времена статистической зависимости которого равны нулю, т. е. они сколь угодно малы по сравнению с постоянной времени системы, тем не менее на выходе этой системы процесс негауссов.

Но и в этом примере эффект нормализации имеет место. В самом деле, если рассматривать кумулянтные коэффициенты, соответствующие (12.7.3), то они равны бесконечности, ибо преобразуемый процесс есть дельта-процесс, сколь угодно «далекий» от гауссова. На выходе же кумулянтные коэффициенты стали конечными, равными

Таким образом, кумулянтные коэффициенты, как и в первом примере, уменьшились в бесконечно большое число раз. А это и должно быть рассмотрено как эффект нормализации. Именно таким образом и раскрывается парадокс, отмеченный в § 12.3.