9.4. Спектральные характеристики производных

1. Перейдем теперь к анализу спектральных плотностей производных случайных стационарных процессов. Выполняя преобразование Фурье корреляционной функции -й производной случайного процесса и используя свойства преобразования Фурье, получим

(9.4.1)

Совместная спектральная плотность производных стационарно связанных случайных процессов на основании (8.2.3) равна

(9.4.2)

2. Спектральные плотности производных могут быть вычислены довольно просто, если воспользоваться символическим методом.

Этот метод имеет широкое применение и весьма прост в употреблении.

Пусть имеется стационарный случайный процесс . Образовав произведение коэффициента Фурье

на комплексно-сопряженную величину и усредняя его, получим . Это выражение обладает свойствами спектральной плотности , хотя, разумеется, ей не равно. Совершенно аналогично среднее обладает свойствами совместной спектральной плотности .

Символический метод заключается в замене указанных средних спектральными плотностями:

(9.4.3)

3. Проиллюстрируем символический метод двумя примерами.

Пример 9.4.1. На основании свойств преобразований Фурье

(9.4.4)

Отсюда

Совершая усреднение и используя замену (9.4.3), получаем формулу

(9.4.5)

полностью совпадающую, как легко проверить с (9.4.2).

Если , то (9.4.5) переходит в (9.4.1).

Пример 9.4.2. Пусть случайный процесс равен

где и — стационарно связанные случайные процессы. Найдем спектральную плотность . Имеем

Следовательно,

Усредняя и совершая замену (9.4.3), получаем

Итак,

Таким образом, возникла еще одна ситуация (кроме рассмотренной в примере 8.2.2), в которой необходимо учитывать нечетную совместную спектральную плотность.

Слагаемое играет роль интерференционного члена, дающего дополнительный вклад в спектр при сложении случайного процесса с производной другого процесса.

Интересно отметить, что если рассматривать сумму случайного процесса с его собственной производной

то в спектре интерференционного члена не будет из-за некоррелированности и , взятых в один и тот же момент времени. Интерференционный член появится, однако, если ввести временной сдвиг:

В этом случае

4. Рассмотрим теперь высшие спектры производных стационарного случайного процесса. На основании (9.2.7) кумулянтная функция производной равна

Согласно (8.3.5) дифференцирование кумулянтной функции по эквивалентно умножению спектральной плотности на . Следовательно,

(9.4.6)

Итак, мы нашли закон преобразования спектральных плотностей высших порядков при дифференцировании стационарного случайного процесса.

5. Заметим вместе с тем, что для спектральных плотностей мы не получим простого соотношения подобного (9.4.6), ибо спектральная плотность не может быть выражена (кроме случая ) через . Это связано с тем, что кумулянтные функции ) не могут быть найдены дифференцированием по . Поэтому, чтобы определить , следует сначала вычислить , а затем интегрировать эту спектральную плотность в соответствии с (8.3.10). Эта ситуация обусловлена тем, что набор спектральных плотностей в отличие от набора не является исчерпывающей характеристикой случайного процесса.

Используя (9.4.6) многократно, легко записать высшие спектральные плотности любых производных стационарного случайного процесса

6. Рассматривая совокупность двух случайных процессов и , можем записать на основании (9.2.9) следующие значения совместных кумулянтных функций производных:

Согласно (8.3.13) дифференцированию совместной кумулянтной функции по соответствует умножение совместной спектральной плотности на или на (если относится ко второй группе аргументов). Таким образом,

(9.4.7)

Используя (9.4.7) многократно, получим общую формулу для высших совместных спектральных плотностей любых производных стационарной совокупности случайных процессов