14.3. Преобразование характеристик двумоментного распределения
1. При анализе преобразований одномоментных распределений те или иные выходные характеристики все-таки могли быть получены и непосредственно через 
хотя бы в виде квадратур.
Иное дело с выходными характеристиками двумоментного распределения, вычисление которых с помощью 
практически возможно лишь для таких преобразований 
, для которых обратные функции 
всюду однозначны.
По этой причине наиболее удобным методом анализа нелинейных преобразований двумоментных распределений является опять же кумулянтный подход, основанный на использовании кумулянтных уравнений.
2. Рассмотрим произвольное нелинейное безынерционное преобразование 
и поставим задачу отыскания характеристик выходного вероятностного распределения 
. Из-за безынерционности преобразования все эти характеристики могут быть полностью определены из заданного входного двумерного распределения 
, которое будем представлять набором кумулянтных функций 
.
Обозначая 
, можно рассматривать 
, 
как пару случайных величин.
Пусть статистические характеристики выхода могут быть представлены средним значением произведения каких-либо функций
Используя формулы (3.3.2)—(3.3.4), можем написать тогда
(14.3.1)
а также
(14.3.2)
Здесь всюду в правых частях усреднение производится по статистическому ансамблю, соответствующему 
.
3. Обратимся к уравнениям для выходных моментных функций
Полагая в (14.3.1)—(14.3.2). 
, найдем
(14.3.3)
Из этих формул следует, что все моментные функции выхода произвольного нелинейного преобразования зависят в общем случае от всех кумулянтных функций входа, причем нелинейно. То же самое справедливо и для корреляционной функции 
, поскольку
(14.3.4)
а также
(14.3.5)
Правые части этих формул в случае произвольной функции 
отличны от нуля при любых 
. Но, если для каких-либо конкретных видов 
, например, полиномов, правые части, начиная с 
, обращаются в тождественный нуль, то это значит, что соответствующие моментные функции не зависят от кумулянтных функций входа, для которых 
.
4. Если теперь интересоваться связью выходных кумулянтных функций с входными, то таких простых уравнений, какие получаются для моментных функций, в общем случае записать не удается.
Можно воспользоваться также уравнениями для кумулянтных скобок, приведенными в § 4.7. Так, для кумулянтных функций второго и третьего порядков с помощью (4.7.4), (4.7.5) нетрудно найти следующие уравнения 
:
Сравнивая первую формулу с (14.3.4), видим, что они совпадают. Это совпадение при 
будет распространяться и на высшие производные ковариационной функции. Так,
(14.3.6)
Правые части всех формул двух последних пунктов вычисляются при 
.
5. Если входной процесс является стационарным случайным процессом, обладающим кумулянтными функциями 
, то выходной процесс из-за безынерционности системы преобразования также будет стационарным, и мы в левых частях (14.3.3)—(14.3.5) должны заменить 
на 
, а правые вычислять при 
. Так, например, для корреляционных функций выхода вместо (14.3.4), (14.3.5) мы будем иметь
(14.3.7)
(14.3.8)
Если 
, то на основании (14.3.6) полученные формулы для производных корреляционной функции будут справедливыми и для ковариационной функции выхода, т. е., например,
(14.3.9)
