15.6. Броуновское движение в потенциальных полях

1. Рассмотрим общую картину поведения случайного процесса , описываемого уравнением

(15.6.1)

где , как и ранее, будем полагать стационарным гауссовым дельта-коррелированным процессом: — некоторой заданной функцией . Негауссов марковский процесс опять же может интерпретироваться как координата броуновской частицы, движущейся в произвольном поле сил с потенциалом . В то же время уравнение (15.6.1) описывает нелинейные инерционные системы, встречающиеся в целом ряде задач статистической радиофизики, радиотехники, физической химии и т. д. (см., например, [5, 7, 70, 71]).

Марковский процесс является непрерывным и однородным во времени. Его кинетические коэффициенты равны

2. Первый вопрос, на который необходимо дать ответ: существует ли стационарная плотность вероятности марковского процесса

Ответ легко может быть получен при рассмотрении вида потенциальной функции . Если потенциальная функция такова, что при она достаточно быстро стремится к бесконечности (рис. 15.5), то каково бы ни было начальное вероятностное распределение , изображающие точки никогда не выйдут из пределов потенциальных ям. С течением времени установится стационарное распределение (показанное на рис. 15.5 пунктиром), максимумы которого приходятся на минимумы , ибо оно представляет собой плотность вероятности пребывания броуновской частицы, обладающей некоторой средней энергией, в том или ином месте потенциальной ямы.

Если же потенциальная функция ограничена при неограниченном возрастании хотя бы в одну сторону (рис. 15.6), то стационарного значения плотности вероятности не существует — изображающие точки будут непрерывно «расползаться» по оси , как это имеет место, в частности, для свободной диффузии , или будут «скатываться» с определенной скоростью в ту или иную сторону, как это, например, имеет место для уравнения

которому соответствует потенциальная функция (рис. 15.6).

3. В последующем мы будем иметь дело с потенциальными функциями, соответствующими рис. 15.5. В этом случае нетрудно найти явное выражение для стационарной плотности вероятности . В самом деле, уравнение ЭФП для (15.6.1) принимает вид

(15.6.2)

Рис. 15.5.

Стационарная плотность вероятности, как очевидно, удовлетворяет уравнению

где через обозначен стационарный поток вероятности [5]. Следователыю, при любых значениях .

Если потенциальная функция при принимает бесконечные положительные значения, то поток вероятности через эти сечения должен быть равен нулю. Это приводит к . Таким образом, для получаем уравнение первого порядка

решение которого находится элементарно:

(15.6.3)

Постоянная интегрирования определяется из условия нормировки

Следует заметить, что полученное распределение есть не что иное, как распределение Больцмана, описывающее плотность распределения молекул газа, обладающего энергетической температурой (в данном случае ) и находящегося в поле сил с потенциалом .

Таким образом, интенсивность случайного воздействия может интерпретироваться как некоторая эффективная температура газа, частицами которого служат изображающие точки марковского процесса.

Стационарное распределение (15.6.3) делает очевидными графики , приведенные на рис. 15.5, и позволяет вычислить установившиеся значения всех кумулянтов распределения. Вместе с тем, для определения эволюции кумулянтов при произвольном начальном распределении мы опять должны составлять и решать кинетические уравнения для , поскольку при произвольной форме потенциальной ямы не представляется возможным отыскать решение «нестационарного» уравнения (15.6.2).

Рис. 15.6.

4. На основании (15.6.1), (10.6.14), принимая во внимание значения кинетических коэффициентов и свойства кумулянтных скобок, получим следующую точную систему уравнений для кумулянтов:

Вследствие нелинейности точное решение этой системы найти невозможно, и опять необходимо прибегать к модельным приближениям.

Если потенциальная яма такова, что плотность вероятности , хотя бы и сугубо приближенно, может быть представлена некоторой эквивалентной гауссовой кривой, то мы можем использовать гауссово приближение для нахождения законов установления кумулянтов. Как было показано на конкретном примере потенциальной функции , гауссово приближение приводит к правильным качественным зависимостям времен релаксации кумулянтов от параметра потенциальной ямы и интенсивности случайного воздействия . Это дает основание надеяться, что гауссово приближение и при других формах потенциальных ям даст нам качественно правильные результаты.

5. Согласно (15.2.3) уравнения установления первых двух кумулянтов имеют вид

(15.6.4)

где

Установившиеся значения кумулянтов m, D определятся уравнениями

(15.6.5)

Времена релаксации кумулянтов мы будем искать для простоты только вблизи их установившихся значений. Вводя малые отклонения

для них из (15.6.4) с учетом (15.6.5), найдем

Здесь функции , и производные берутся в точках .

Вычисляя — корни характеристического уравнения

найдем времена релаксации и их зависимости от и параметров потенциальной ямы.

В том случае, когда установление кумулянтов в фазовой плоскости происходит по прямой , для дисперсии получим уравнение , а время релаксации дисперсии будет равно

(15.6.6)

Если установившееся значение не зависит от , формула (15.6.6) существенно упрощается. В этом случае из

следует . Тогда

(15.6.7)

— время релаксации дисперсии равно ее производной по .

6. Выше, в § 15.4, при анализе процесса установления дисперсии в случае потенциальной функции мы нашли, что время релаксации уменьшается с ростом интенсивности свободного броуновского движения . Там же мы нашли, что в случае параболической потенциальной ямы время релаксации вообще не зависит от , и объяснили это тем, что в этом случае уравновешиваются два противодействующих фактора: первый, ведущий к росту , обязан большему «пути», который должна проходить дисперсия до тановившегося значения; второй, уменьшающий , связан с ускорением процесса установления при увеличении .

Полученное выражение (15.6.6) и, особенно, (15.6.7) четко показывают это конкурирующее влияние обоих факторов. Все определяется соотношением между скоростью роста и . Если , как это имеет место для линейной системы, то не зависит от . Если растет медленнее, чем , как это мы имели для потенциальной ямы время релаксации будет падать с ростом . Если же форма потенциальной ямы такова, что растет быстрее, чем то мы получим увеличение с ростом .

7. Для реализации последнего случая необходимо, очевидно, чтобы потенциальная функция возрастала при достаточно медленно, и легко сообразить, что она должна расти медленнее, чем . Рассмотрим соответствующий пример потенциальной функции.

Пример 15.6.1. Пусть (рис. 15.5). Дифференциальное уравнение марковского процесса, соответствующее этой функции, имеет вид

Из-за симметрии установившееся значение . Соответственно ,

Зависимость дисперсии от определяется вторым уравнением (15.6.5)

(15.6.8)

Таким образом, для «линейной» потенциальной ямы дисперсия растет пропорционально . Такой быстрый рост дисперсии как раз и обусловлен «пологостью» этой ямы. Согласно (15.6.7)

(15.6.9)

— время, релаксации дисперсии, как мы и ожидали из качественных рассуждений, увеличивается с ростом .

Установившееся значение дисперсии (15.6.8) мы нашли в гауссовом приближении. Потенциальной функции а соответствует, на основании (15.6.3), стационарное распределение

(15.6.10)

имеющее следующее точное значение дисперсии:

(15.6.11)

Сравнивая (15.6.11) с (15.6.8), видим, что точное значение дисперсии получилось большим всего на , хотя экспоненциальное распределение (15.6.10) существенно отличается от гауссова. Однако, что самое главное, используя гауссово приближение, мы, тем не менее, опять получили совершенно точный закон зависимости дисперсии от и . И это обстоятельство еще раз подчеркивает эффективность использования даже гауссова приближения при решении «нелинейных» задач в теории случайных процессов.

Рис. 15.7.

Используя эксцессное приближение, мы, конечно, получим значение дисперсии, численно еще более близкое к точному, однако характер зависимости от и опять же сохранится. Тем самым сохранится и вид зависимости от соответствующий (15.6.9), с той лишь разницей, что вместо будет несколько другой коэффициент.

8. Теперь уже не представляет никакого труда дать общую качественную картину зависимости как , так и от для различных видов потенциальных ям, тем более, что мы имеем некоторые «опорные точки», соответствующие рассмотренным потенциальным функциям:

Здесь значения и даны в гауссовом приближении.

Рис. 15.8. и Рис. 15.9.

Пример 15.6.2. Пусть пропорциональна для и пропорциональна для (рис. 15.7). Для малых значений таких, что дисперсия вероятностного распределения заметно меньше , все распределение будет «находиться» в квадратичной потенциальной яме. Это значит, что при таких малых мы имеем, фактически, случай , для которого . Для больших значений , для которых дисперсия становится много больше , начальная параболическая часть потенциальной ямы становится несущественной, и мы можем считать, что , вследствие чего .

Общий вид зависимостей и также показан на рис. 15.7. Граничное значение соответствует по порядку величины дисперсии, равной .

Пример 15.6.3. Если для и пропорциональна для (рис. 15.8), то, рассуждая аналогично, мы найдем, что для малых значений интенсивности броуновского движения , а для больших . Следовательно, функция будет иметь максимум, примерно соответствующий тому значению интенсивности , при котором .

Пример 15.6.4. Если при малых потенциальная функция , а при , то мы получим картину в определенном смысле «обратную» предыдущей, и в зависимости появляется точка минимума, примерно соответствующая той интенсивности , при которой (рис. 15.9).

Число подобных примеров, показывающих, что на зависимости и от существенно влияет вид потенциальной функции и что они могут быть весьма различными, можно легко продолжить. Однако практически более интересными являются картины спектров броуновского движения в различных потенциальных ямах и особенно зависимость ширины спектра от его интенсивности.