4.7. Размыкание кумулянтных скобок

1. В § 4.5 мы уже говорили о трудностях вычисления кумулянтов случайной переменной, подвергшейся нелинейному преобразованию, и получили некоторые результаты для ряда простых случаев. Чтобы решить эту задачу в более общем виде, необходимо, во-первых, получить для кумулянтных скобок вида

(4.7.1)

уравнения, аналогичные тем, которые мы имеем для моментных скобок, и, во-вторых, с их помощью установить формулы размыкания кумулянтных скобок, т. е. найти их разложение по совместным кумулянтам совокупности . Для этой цели эффективнее всего привлечь аппарат неполных (круглых) кумулянтных скобок, представив угловую кумулянтную скобку в виде статистического среднего от круглой скобки, а затем воспользоваться результатами § 4.5.

2. Начнем с уравнения для кумулянтной скобки второго порядка

Согласно (2.8.2) в неполную кумулянтную скобку уже входит статистическое среднее. Поэтому для нахождения производной по кумулянтам мы должны обратиться к формуле(4.5.2).

Это приведет нас к

В результате получим уравнение

(4.7.2)

В частных случаях это уравнение раскрывается следующим образом:

Полагая в первых двух формулах , получим, как и должно быть, третью и четвертую формулы (4.5.6). Смешанная производная кумулянтной скобки равна

Для кумулянтной скобки третьего порядка, аргументами которой являются функции , используя неполную кумулянтную скобку

а также (4.5.2), найдем следующее уравнение:

(4.7.3)

3. Совершенно так же можно отыскать производные кумулянтных скобок и по совместным кумулянтам. И в этом случае существенное упрощение выкладок будет достигнуто при использовании круглых кумулянтных скобок.

Так, например, если , то

(4.7.4)

В частном случае уравнение (4.7.4) принимает вид

Если , то вычисления, проводимые на основании (3.3.5) и формулы (4.5.8), обобщенной очевидным образом на совокупность трех случайных величин, приводят к следующему уравнению:

(4.7.5)

Если здесь положить , то легко проверить, что (4.5.7), как и должно быть, переходит в третью формулу (4.5.5).

4. Обратимся теперь к задаче размыкания кумулянтных скобок и приведем ряд формул, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Докажем, прежде всего, следующую формулу размыкания:

(4.7.6)

Полагая в (4.7.4) , имеем

Если р больше единицы, то справа будет нуль. Следовательно, рассматриваемая кумулянтная скобка зависит от совместного кумулянта только вида . Используя правила дифференцирования неполной кумулянтной скобки [см. (2.8.10)], найдем

откуда и следует формула (4.7.6), которая, в частном случае переходит в

(4.7.7)

Для гауссовой совокупности

(4.7.8)

Если функция зависит от двух случайных переменных, то

(4.7.9)

В общем случае многих переменных

(4.7.10)

Для гауссовых совокупностей случайных величин вместо(4.7.9), (4.7.10) имеем

(4.7.11)

Рассмотрим теперь кумулянтную скобку третьего порядка . Полагая в (4.7.5) и используя правила дифференцирования неполных кумулянтных скобок, легко обнаружить, что исследуемая скобка зависит только от совместных кумулянтов вида и этой зависимости соответствуют производные

Отсюда следует, что зависит линейно как от , так и от . В результате искомая формула размыкания принимает следующий вид:

(4.7.12)

Если , (4.7.12) переходит в

(4.7.13)

Когда совокупность гауссова,

Для кумулянтной скобки четвертого порядка использование метода неполных кумулянтных скобок приводит к такой формуле размыкания:

(4.7.14)

Симметризация выполняется здесь по . При

5. Если в формуле (4.7.12) положить , то полученное разложение уже не будет «чистым» разложением по совместным кумулянтам , поскольку они здесь перемешиваются с кумулянтами случайной величины . В этом случае гораздо удобнее дать другую формулу размыкания кумулянтной скобки . На основании (4.5.8)

Поскольку [см. (2.8.4)]

постольку рассматриваемая кумулянтная скобка зависит лишь о совместного кумулянта вида и таким образом, что

Так как значение этой производной уже не зависит от , то

Если теперь учесть, что [см. (2.8.10)]

окончательно получаем

(4.7.16)

При из (4.7.16) находим другую структуру формулы (4.7.13):

Аналогично можно найти разложение кумулянтной скобки четвертого порядка по совместным кумулянтам . Используя (4.5.8), (2.8.4) и правила дифференцирования неполных кумулянтных скобок, найдем

(4.7.17)

Полагая , придем к другому виду формулы (4.7.15):

6. Если функция зависит от многих переменных , то формула размыкания для кумулянтных скобок третьего порядка принимает следующий вид:

(4.7.18)

Кумулянтная скобка четвертого порядка с той же функцией размыкается так:

(4.7.19)

В общем случае произвольного числа аргументов стоящих по отдельности в кумулянтной скобке, можно прийти к следующей формуле размыкания принимает любые значения из :

(4.7.20)

Некоторые другие формулы размыкания подобных кумулянтных скобок и их важные частные случаи приведены в приложении II.