14.8. Преобразование спектров нестационарных процессов

1. Спектр мощности нестационарного процесса находится как сопряженная Фурье функции корреляции второго рода, т. е. корреляционной функции , усредненной по текущему времени [35]:

Это относится к спектру как входного, так и выходного процесса. Поэтому если при нелинейном преобразовании искать через и через спектры высших порядков случайного процесса , то прежде всего необходимо выразить через и через временные усреднения высших кумулянтных функций .

Согласно (14.3.4), (14.3.5) всегда можно представить через кумулянтные функции , однако этого нельзя сделать после их усреднения по времени , ибо зависит от нелинейно. Все это ведет к тому, что при нестационарном входе мы не можем выразить через и спектры высших порядков, так как это было для стационарных случайных процессов. Это значит, что нестационарность входного процесса весьма существенно усложняет соотношение между входным и выходным спектрами, вообще говоря, делает эту связь в общем случае несуществующей или, по крайней мере, неоднозначной.

Рассмотрим, например, прохождение нестационарного случайного процесса с нулевым средним значением через идеальный квадратичный детектор, корреляционная функция на выходе которого, согласно (14.5.2), равна

Полагая и заменяя на , найдем

Чтобы получить функцию корреляции , усредним обе части этого равенства по :

(14.8.1)

Спектры входного процесса определяются функциями

Так как и поскольку в (14.8.1) присутствует, кроме того, член , который также имеет смысл некоторой функции корреляции, но не связан со спектром входного сигнала, то совершенно ясно, что какой-либо явной связи между входным и выходным спектрами мощности нет даже для гауссова нестационарного процесса. Итак, выходной спектр равен

где слагаемое есть косинус-сопряжения Фурье выражения , , и может рассматриваться как спектр четвертого порядка нестационарного случайного процесса.

Таким образом, нестационарность случайного процесса вносит свои характерные особенности в закономерности преобразования спектров безынерционными нелинейными системами: спектры нестационарного случайного процесса преобразуются иначе, чем стационарного, и значение входных спектров нестационарного процесса еще не определяет спектры выходных переменных.

2. Рассмотрим детектирование автоколебательного сигнала. Случайный процесс

где — флуктуации фазы и частоты соответственно, представляет собой автоколебание, которое в пренебрежении амплитудными флуктуациями описывает выход любого реального автогенератора, независимо от его принципа действия и диапазона генерируемой частоты . Пусть флуктуации частоты являются стационарным гауссовым дельта-коррелированным процессом

Этому случаю соответствует так называемое естественное уширение спектральной линии автоколебания, т. е. спектр

соответствующий функции корреляции , например, [35])

вид этого спектра автоколебания изображен на рис. 14.7. Он представляет собой резонансную кривую — спектральную линию, расположенную на несущей частоте с шириной .

Чтобы отыскать спектр на выходе детектора, необходимо вычислить слагаемые функции корреляции (14.8.1). Расчет показывает, что

Здесь есть набег фазы за время — гауссов процесс, для которого [35]

Собирая все слагаемые вместе, найдем

Спектр, соответствующий этой функции корреляции, равен

(14.8.2)

и состоит из спектра постоянной составляющей и резонансной кривой, расположенной на удвоенной частоте и имеющей удвоенную ширину. Его вид также изображен на рис. 14.7.

Рис. 14.7.

Весьма интересной особенностью полученного спектра является отсутствие слагаемого разностных частот (показанного на рисунке пунктиром). Это слагаемое существует при детектировании гауссова случайного процесса с аналогичным Рис. 14.7. входным спектром (см. § 14.7), и оно должно было бы появиться и здесь, если бы в состав входила свертка [ср. с (14.7.5)]. Таким образом, [ср. с § 14.7) возникает вновь вопрос: куда делись компоненты разностных спектральных составляющих?

Ответ на этот и ранее поставленные вопросы будет дан, как уже говорилось, в следующем параграфе, а сейчас заметим, что с отсутствием разностных частот в спектре тесно связана ошибка одного метода измерения ширины спектральной линии автоколебания. Идея этого метода заключалась в следующем. Если на детектор подать узкополосный сигнал, то на выходе детектора кроме суммарных частот, дающих спектральное слагаемое на удвоенной частоте, должны присутствовать и разностные частоты, примыкающие к нулю и занимающие полосу, равную полосе узкополосного сигнала, независимо от его центральной частоты (так, как это изображено на рис. 14.6). Поэтому, измеряя полосу низкочастотного шума на выходе детектора, можно определить неизвестную нам ширину полосы узкополосного сигнала. Именно таким образом предполагалось измерить ширину спектральнойлинии лазера, использовав в качестве детектора фотоумножитель [64].

Из полученного выражения (14.8.2) следует, однако, что никаких разностных частот в спектре выхода детектора нет. Это значит, что в приведенных рассуждениях содержится ошибка. К разбору возникшей ситуации мы сейчас и перейдем.