16.3. Условия широкополосности и квазистатичности воздействия

1. Разберем теперь поставленный выше вопрос о том, каким условиям должен удовлетворять гладкий широкополосный шум , воздействующий на нелинейную инерционную систему

(16.3.1)

чтобы его можно было считать белым шумом, а случайный процесс — марковским.

Для этого сравним результаты, полученные в § 15.2 для уравнения

(16.3.2)

где — гауссов белый шум с интенсивностью , с результатами § 16.2 применительно к системе уравнений

(16.3.3)

Здесь во втором уравнении перед специально введен множитель у для того, чтобы при гладкий шум и переходил в белый . И вот это математическое условие мы должны заменить физическим, указав, по сравнению с чем должна быть велика — полоса гладкого шума и .

Начнем со сравнения спектров случайного процесса . Из (16.2.5) следует, что для , определенного системой (16.3.3), спектр флуктуаций равен

(16.3.4)

где . Формула, дающая значение спектра для (16.3.2), имеет вид [см. (15.2.8)]

(16.3.5)

где

Сравнивая (16.3.4) и (16.3.5), легко видеть, что , если при . Последнее условие становится очевидным, если учесть, что

и что при .

Что касается дисперсии и среднего значения случайного процесса, то мы должны сравнить уравнения (16.2.2), которые можно записать в виде

с уравнениями (15.2.4)

Из сопоставления (16.3.2) и (15.2.10) следует, что

Таким образом, при мы получаем . Это означает, что если полоса широкополосного шума много больше полосы нелинейной системы

(16.3.6)

то этот широкополосный шум можно считать дельта-коррелированным, а случайный процесс — марковским. Таким образом, условие (16.3.6) и есть условие широкополосносши воздействующего шума и .

Важно заметить, однако, что поскольку заданный гауссов шум и однозначно определяется шириной полосы у и значением спектральной плотности на нулевой частоте , то и полоса нелинейной системы сама в конце концов зависит от и . Это значит, что условие широкополосности

(16.3.7)

является по существу уравнением для в которое параметром входит . Это приводит к тому, что в общем случае требование к полосе шума и будет различным при различных значениях . Одна и та же величина полосы воздействующего шума может удовлетворять или не удовлетворять условию широкополосности в зависимости от того, какое значение имеет Эта взаимозависимость и является следствием нелинейности системы, и параметр ее нелинейности, конечно, входит в выражение для полосы .

2. Рассмотрим теперь в том же гауссовом приближении условие квазистатичности воздействия шума и на нелинейную инерционную систему.

Это условие означает, что мы рассматриваем такой медленный процесс , для которого производной можно пренебречь по сравнению с правой частью уравнения (16.3.1) и тем инерционное нелинейное преобразование и свести к безынерционному, определяемому уравнением

(16.3.8)

Совершенно очевидно, что такая ситуация справедлива, если воздействующий шум и достаточно медленен, ибо в этом случае порождаемый случайный процесс также становится медленным.

Вместе с этим, вопрос может быть поставлен и по-другому. Пусть и — быстрый процесс, который, в свою очередь, порождает также быстрый выходной процесс , так что в общем случае производной пренебрегать нельзя. Однако если в спектре быстрого процесса рассматривать только спектральные компоненты, примыкающие к нулю, то кажется очевидным, как это отмечалось в § 15.5, что для таких медленных компонент также можно пренебрегать производной и находить их статистические характеристики из безынерционного уравнения (16.3.8).

Согласно (16.2.6), в гауссовом приближении исходное уравнение (16.3.1) может быть записано как

Следовательно, условие квазистатичности в гауссовом приближении сводится к тому, что преобразование принимает вид

Отсюда следует, во-первых, что медленности должна обязательно соответствовать медленность и, во-вторых, что спектр равен

Сравнивая это выражение с (16.2.7), видим, что условие квазистатичности эквивалентно тому, что полоса спектра должна быть много меньше полосы нелинейной системы:

(16.3.9)

Другими словами, условие квазистатичности является обратным условию широкополосности, а это означает, что нахождение статистических характеристик медленных компонент выходного шума с помощью безынерционного преобразования (16.3.8) при широкополосном выходном шуме невозможно, хотя, как отмечалось выше, и представлялось очевидным. Дело здесь в том, что это было бы возможным, если бы медленные компоненты определялись только медленными компонентами и , как это имеет место для линейной системы. Для нелинейной же системы, как неоднократно упоминалось выше (см. гл. 14), медленные спектральные компоненты определяются биениями спектральных составляющих, расположенных во всех частях спектра.

Говоря по-другому, в нелинейной системе медленные компоненты определяются всем спектром входного процесса .

3. В условие квазистатичности (16.3.9), так же как и в условие широкополосности (16.3.7), входит параметр нелинейности и значение . Это ведет к тому, что, в принципе, может быть, например, такая ситуация, когда при фиксированной полосе входного шума и при одних значениях этот шум удовлетворяет условию квазистатичности, а при других значениях — условию широкополосности. Такой конкретный пример будет приведен ниже.

Условия (16.3.7) и (16.3.9) получены нами в гауссовом приближении. Естественно, возникает вопрос, изменятся ли эти условия и как именно, если учесть следующие приближения: эксцессное, приближение шестого порядка и т. д.? Можно ли говорить о подобных условиях безотносительно к приближениям?

Как будет показано ниже на конкретном примере, учет эксцесс-ного и последующих приближений, не изменяя, по существу, самих условий широкополосности и квазистатичности, приводит лишь к численному уточнению значения полосы . Это позволяет предполагать, что условия (16.3.7), (16.3.9) справедливы всегда, и все дело лишь в точном вычислении самой полосы нелинейной системы:

В известной литературе условия широкополосности или квазистатичности воздействия шума на нелинейную инерционную систему, как правило, формулируются в терминах постоянных времени [см., например, [5, 9]). Сравнивают время корреляции входного процесса с «характерной постоянной времени системы» . Что касается входного шума, то совершенно ясно, что . Однако не совсем правильно определяется для нелинейной инерционной системы. Ее определяют как время релаксации самой системы , например, , не обращая внимания на характеристики воздействующего шума. Это неправильный подход, ибо, как мы получили выше, из-за нелинейности системы ее время релаксации весьма существенным образом зависит от характера и параметров воздействующего шума и не может служить характеристикой только самой по себе нелинейной системы. Это значит, что мы должны положить и соотношения, вытекающие из

(16.3.7), (16.3.9), записывать не между и будто бы независимой от нее , а между и , т. е. записывать уравнения широкополосности и квазистатичности. А это, как уже было сказано выше, приведет нас к тому, что при одном и том же значении соотношение между и может быть совершенно различным в зависимости от величины .