2.8. Неполные кумулянтные скобки

1. Кроме введенных в §2.1 кумулянтных скобок (назовем их для определенности угловыми скобками), весьма полезно ввести также и аппарат неполных или круглых кумулянтных скобок, особо удобный тогда, когда возникает проблема размыкания угловых кумулянтных скобок, т. е. задача их выражения через совместные кумулянты [28, 33].

Неполная кумулянтная скобка первого порядка для случайной переменной определяется как сама эта переменная:

(2.8.1)

Неполные кумулянтные скобки второго и третьего порядка для двух и соответственно трех случайных переменных определяются как

(2.8.2)

Выражая правые части (2.8.2) также через неполные кумулянтные скобки, можно формулам для и придать вид, схожий со структурой формул для соответствующих угловых кумулянтных скобок, а именно, можно записать

(2.8.3)

Сравнивая (2.8.3) с первыми двумя формулами (2.2.3), нетрудно определить правила получения (2.8.3), а именно: чтобы из первых двух формул (2.2.3) получить (2.8.3), следует в (2.2.3) те угловые скобки, в которые входит последний аргумент, заменить на соответствующие круглые скобки (при этом, естественно, моментная скобка заменяется на неполную кумулянтную скобку первого порядка).

Это правило позволяет на основании формул (2.2.3) записать выражения круглых кумулянтных скобок и для высших порядков. Приведем эти выражения, заменяя, как и в (2.2.3), аргументы цифрами:

(2.8.4)

Скобки симметризации со штрихами означают здесь, что симметризация происходит в них по всем аргументам, кроме последнего.

Из приведенных формул отчетливо видна несимметричность неполных кумулянтных скобок по отношению к аргументам. В то время как первые аргументы (под ними будем понимать все аргументы, кроме последнего) входят в круглую кумулянтную скобку симметрично, последний аргумент играет особую роль и он не может быть переставлен с любым из первых.

2. Полученные формулы выражают круглые кумулянтные скобки через круглые же и угловые. Если теперь угловые кумулянтные скобки в (2.8.3), (2.8.4), заменить в соответствии с (2.2.1) на момент-ные, то формулы для неполных кумулянтных скобок упростятся и, более того, они могут быть записаны в самом общем виде:

(2.8.5)

Последнюю формулу в (2.8.5) можно вообще принять за определение круглых кумулянтных скобок произвольного порядка. Эта формула может быть записана в виде

(2.8.6)

3. Неполные кумулянтные скобки обладают такими свойствами:

1) — симметрическая функция всех аргументов, кроме последнего;

2) ;

3) ;

4) , если детерминированная величина не стоит на месте последнего аргумента;

5) ;

6) ;

7) (2.8.7)

Первые шесть свойств (2.8.7) легко доказываются на основании соответствующих свойств угловых кумулянтных скобок (3.2.1) и формул (2.8.4), (2.8.5). Из этих свойств следует, что по отношению к первым аргументам круглые кумулянтные скобки обладают всеми свойствами угловых скобок, кроме четвертого. Последнее обстоятельство связано с тем, что в то время как угловые кумулянтные скобки представляют собой детерминированные величины, круглые скобки являются некоторыми функциями от случайных переменных (и их усредненных значений).

Круглая кумулянтная скобка также является линейным оператором по отношению к каждому отдельному аргументу.

Седьмое свойство (2.8.7) — основное, ради которого по существу и вводятся неполные кумулянтные скобки. Оно элементарно следует из (2.8.4) и позволяет представлять угловую кумулянтную скобку в виде среднего значения от некоторой функции случайных переменных и их усредненных значений.

Таким образом, после усреднения неполные кумулянтные скобки превращаются в угловые и становятся симметрическими функциями всех аргументов. Это позволяет, в частности, усредняя (2.8.6), получить полезную формулу, связывающую моментные и угловые кумулянтные скобки произвольного порядка:

(2.8.8)

4. Поскольку круглые кумулянтные скобки (в отличие от угловых) представляют собой функции случайных переменных, их можно дифференцировать по этим переменным. Необходимость этого дифференцирования будет выяснена далее, а сейчас мы ограничимся лишь установлением правил дифференцирования.

Пусть аргументы неполных кумулянтных скобок, которые по-прежнему будем обозначать цифрами, зависят от случайных переменных .

Имея в виду, что усредненные значения аргументов уже не зависят от случайных переменных, из первых двух формул (2.8.4) лементарно находим

Таким образом, результаты дифференцирования неполных кумулянтных скобок также выражаются через неполные скобки, аргументами которых служат теперь частные производные. При этом в силу выделенности последнего аргумента его частная производная входит в результат дифференцирования иначе чем частные производные других аргументов.

Выполняя дифференцирование круглых кумулянтных скобок высших порядков, получим следующие общие формулы:

(2.8.9)

Закон дифференцирования неполных кумулянтных скобок очевиден: во-первых, дифференцирование всех аргументов идет по очереди, во-вторых, при дифференцировании любого аргумента, кроме последнего, порядок скобки понижается на единицу и при этом частная производная дифференцируемого аргумента умножается на последний аргумент; в-третьих, при дифференцировании последнего аргумента порядок скобки остается без изменений.

Пример 2.8.1. Пусть . Тогда из (2.8.9) элементарно находим

5. Так как после дифференцирования неполных кумулянтных скобок мы снова приходим к ним, то, применяя (2.8.9) многократно, легко получить, например,

Пример 2.8.2. Для неполных кумулянтных скобок из примера 2.8.1 нетрудно найти следующие значения высших производных:

(2.8.10)

6. Используя основное (седьмое) свойство неполных кумулянтных скобок, легко получить следующие важные формулы:

(2.8.11)