4.3. Суммы случайных величин
1. Важным случаем линейного преобразования (4.2.1) является суперпозиция случайных величин
Так как коэффициенты 
легко учесть введением новых случайных величин, положим их для простоты равными единице:
Найдем кумулянты суммы, полагая, что задан набор тензоров-кумулянтов 
.
2. Начнем решение поставленной задачи с простейшего случая двух слагаемых: 
На основании (2.3.3) нетрудно получить следующее общее выражение k-гo кумулянта суммы через кумулянты совокупности слагаемых:
(4.3.1)
Приняв во внимание, что
из (4.3.1) сразу же получаем формулу для 
-го кумулянта разности
3. Обратимся теперь к сумме 
случайных величин 
.
Для отыскания связи кумулянтов случайной величины 
с кумулянтами совокупности 
воспользуемся свойствами кумулянтных скобок. В результате получим
(4.3.2)
Здесь суммирование идет по всем 
однако так, чтобы всегда 
. Заметим, что коэффициент перед совместным кумулянтом 
-го порядка в (4.3.2) есть полиномиальный коэффициент, стоящий перед произведением 
в разложении полинома 
.
Если все статистически независимы, то
(4.3.3)
Таким образом, среднее значение всегда является аддитивной величиной, а высшие кумулянты в общем случае не аддитивны и становятся таковыми только для статистически независимых величин. Вместе с тем для аддитивности второго кумулянта достаточно лишь некоррелированности случайных величин. Если между случайными величинами отсутствуют статистические связи первого и второго порядка, то аддитивным становится и кумулянт третьего порядка. Очевидно, что если у совокупности случайных величин отсутствуют все взаимные статистические связи, начиная с первого и кончая 
порядком, то аддитивны все кумулянты, вплоть до 
.
Формула (4.3.2) справедлива, разумеется, и для моментов случайных величин. Однако поскольку совместные моменты статистически независимых величин не обращаются в нуль, формула (4.3.3) для моментов не верна (при 
). В отличие от кумулянтов высшие моменты не становятся аддитивными даже для статистически независимых величин. Это обстоятельство еще раз подчеркивает преимущество кумулянтного описания случайных переменных.
