5.3. Модельные приближения

1. Во многих статистических задачах часто приходится иметь дело с нелинейными уравнениями для случайных переменных, статистические характеристики которых подлежат изучению. Иногда для них удается отыскать функции распределения. Однако чаще всего приходится ограничиваться вычислением лишь моментов распределения. Для моментов составляют уравнения, которые вследствие нелинейности исходных уравнений образуют бесконечную зацепляющую цепочку. Так, например, в уравнение для первого момента входит второй и третий момент, для второго — третий и четвертый и т. д.

Найти точное решение этой бесконечной цепочки уравнений невозможно. Обычно эту цепочку обрывают на произвольном члене и решают оставшуюся часть уравнений. Такая операция эквивалентна тому, что все высшие моменты, начиная с некоторого, полагаются равными нулю. Оставшаяся система уравнений для конечного числа моментов позволяет их вычислить. Полученные значения рассматриваются как некоторые приближенные выражения для моментов.

Здесь следует особо подчеркнуть, что подобное обрывание моментов является совершенно необоснованной операцией, ибо не только не существует никакого вероятностного распределения, все высшие моменты которого, начиная, скажем, с , равны нулю, но невозможно даже графически изобразить такую функцию . У любого распределения, обладающего какой-либо «шириной», все высшие моменты не могут обращаться в нуль.

В самом деле, если положить отличными от нуля только первые моментов , то согласно (1.1.7) характеристическая функция примет вид

и, следовательно, вероятностное распределение будет равно

(5.3.1)

Таким образом, плотность вероятности, соответствующая конечному набору моментов, представляет собой конечную суперпозицию дельта-функции и ее производных. Эта функция не имеет ширины, и ее невозможно «нарисовать». Ясно, что функция (5.3.1) ни в коей мере не похожа на плотность вероятности какой-либо физической случайной переменной, и поэтому метод отыскания хотя бы и приближенных значений моментов путем обрывания их ряда представляется совершенно неприемлемым.

2. Совсем другое дело, если на основании исходных уравнений для случайных переменных составлять уравнения для их кумулянтов. Цепочка уравнений для кумулянтов также получится бесконечной и зацепляющейся. И чтобы находить приближенные решения, нам также придется оборвать ряд кумулянтов, скажем, начиная с . Однако эта операция, во-первых, сохранит нам ненулевые значения всех моментов (они будут выражаться теперь чем без первых кумулянтов) и, во-вторых, что самое главное, даст невозможность описать случайные переменные модельными распределениями — функциями, имеющими определенную форму и ширину.

Таким образом, оборвав ряд кумулянтов, мы приближенно заменим неизвестное вероятностное распределение модельным распределением . В этом смысле можно говорить о модельных приближениях -го порядка.

Модельное приближение второго порядка является, очевидно, гауссовым приближением. Модельное приближение четвертого порядка, соответствующее эксцессному распределению, будем называть эксцгссным приближением. Оно учитывает отличие от нуля первых четырех кумулянтов и представляет собой простейшее негауссово приближение.

3. Безусловно, интересно и практически важно выяснить, насколько точно может быть описано какое-либо негауссово вероятностное распределение модельными приближениями. Другими словами, возникает вопрос о сходимости модельных распределений при к соответствующему вероятностному распределению.

Решение этого вопроса выходит за рамки настоящей книги и нуждается в специальном математическом исследовании. Оставляя в стороне выяснение условий такой сходимости, мы будем в дальнейшем предполагать, что для всех рассматриваемых в этой книге конкретных статистических задач подобная сходимость имеет место.