1.5. Некоторые двумерные распределения

1. Пусть из всех кумулянтов двумерного распределения отличны от нуля кумулянты только первого и второго порядков:

Характеристическая функция этого распределения равна

(1.5.1)

Соответствующее распределение

(1.5.2)

называется двумерным гауссовым распределением. О случайных величинах, подчиняющихся этому распределению, говорят как о совокупно-гауссовых величинах. Совокупно-гауссовы случайные величины по отдельности также гауссовы, их некоррелированность означает статистическую независимость.

2. Поставим и проанализируем два следующих вопроса:

— Всякие ли гауссовы случайные величины являются и совокупно-гауссовыми?

— Существуют ли негауссовы случайные величины, некоррелированность которых ведет к их статистической независимости?

Поскольку «построение» совместного распределения двух случайных величии из заданных одномерных распределений должно происходить путем задания совместных кумулянтов, то поставленные вопросы переходят в следующий общий: насколько произвольно можно задавать совместные кумулянты, входящие в треугольник.

если одномерные кумулянты и , образующие стороны этого треугольника, заданы?

Если возможен, например, треугольник

в котором одномерными, отличными от нуля кумулянтами являются только кумулянты двух первых порядков, то мы приходим к совместному негауссовому распределению двух гауссовых случайных величин и таким образом получаем отрицательный ответ на первый вопрос.

Если возможен треугольник

в котором все совместные кумулянты, кроме , равны нулю, то мы приходим к положительному ответу на второй вопрос и получаем пример коррелированных негауссовых случайных величин, переходящих в статистически независимые при .

В литературе, по-видимому, отсутствует какое-либо обсуждение взаимоотношений кумулянтов, находящихся в ряду

поэтому дать исчерпывающий анализ поставленных вопросов не представляется . Поэтому отвечая на них, обратимся к конкретным примерам.

3. Покажем, что гауссовы случайные величины могут образовать негауссову совокупность.

Пример 1.5.1. Рассмотрим совокупно-гауссовы случайные величины и , кумулянты которых выбираем для простоты равными . Таким образом, совокупность описывается гауссовой плотностью вероятности (1.5.2), которую обозначим как .

Рассмотрим вместе с этим случайную величину где — случайная величина, принимающая равновероятно значения . Можно показать, что также имеет гауссово распределение с параметрами

Построим теперь совокупность . Нетрудно сообразить, что плотность вероятности этой совокупности равна

(1.5.5)

Характеристическая функция, соответствующая (1.5.5),

отлична от (1.5.1). Значит, совокупность является негауссовой, а случайные величины и гауссовы.

Мы получим аналогичный результат и в том случае, когда на гауссовой совокупности построим совокупность с где -случайная величина, имеющая то же вероятностное распределение, что и , и статистически независимая от нее. Совокупность также будет негауссовой.

Пример 1.5.2. Простым обобщением негауссова распределения (1.5.5), построенного на гауссовой плотности вероятности , является

(1.5.6)

с . Легко проверить, что распределение (1.5.6) удовлетворяет условию нормировки и при интегрировании по одному аргументу становится гауссовым по другому.

Характеристическая функция, соответствующая (1.5.6), равна

Другие примеры негауссовых двумерных распределений гауссовых случайных величин читатель может найти, например, в [8].

. Обратимся теперь к ситуации, изображенной треугольником кумулянтов (1.5.4). Совершенно ясно, что характеристическая функция в этом случае равна

— характеристические функции иегауссовых случайных величии, которые всегда можно записать в виде

Таким образом, двумерная характеристическая функция негауссовой совокупности некоторых случайных величин

(1.5.7)

представляет собой произведение характеристической функции гауссовой совокупности на характеристические функции произвольных негауссовых статистически независимых случайных величин и , имеющих плотности вероятности и соответственно. Преобразование Фурье (1.5.7) дает нам плотность вероятности

которая означает, что .

Итак, мы получили негауссову совокупность случайных величин , взаимосвязанных только коррелированностыо, так что если становятся некоррелированными, то они одновременно становятся и статистически независимыми.