7.4. Примеры кумулянтных функций негауссовых процессов

1. Рассмотрим теперь кумулянтные функции некоторых конкретных негауссовых стационарных случайных процессов. Начнем с ковариационной функции.

Пример 7.4.1. Одной из самых «популярных» ковариационных функций является

(7.4.1)

Время корреляции на основании (7.3.5) равно . К этому же значению приводит нас и (7.3.6).

Пример 7.4.2. Если в предыдущем примере устремить к бесконечности, то мы придем к случайному процессу со сколь угодно большим временем корреляции — сколь угодно медленному случайному проарнанионной функцией которого является постоянная величина .

Такая аппроксимация реального случайного процесса имеет смысл тогда, когда все характерные времена физической системы весьма малы по сравнению с временем корреляции случайного процесса, т. е. когда мы встречаемся с квазистатическим воздействием случайных процессов на те или иные системы.

Пример 7.4.3. Случайным процессом, в определенном смысле «обратным» предыдущему, является дельта-коррелированный случайный процесс, определенный тем, что его время корреляции сколь угодно мало: . Для такого процесса значения и некоррелированы уже при любом сколь угодно малом . Если дисперсия такого случайного процесса конечна и равна А, то его функция ковариации получается из (7.4.1) в пределе при : . Здесь введена «игольчатая» функция

Несравненно большее распространение получила модель дельта-коррелированного процесса с бесконечной дисперсией. Его ковариационная функция имеет вид

(7.4.2)

Чтобы перейти от (7.4.1) к (7.4.2), следует положить и устремить .

Представление какого-либо реального шума дельта-коррелированным случайным процессом имеет смысл тогда, когда время корреляции этого шума много меньше всех характерных времен системы, на которую он воздействует.

Если дельта-коррелированный процесс является в то же самое время гауссовым, то мы получаем гауссов совершенно случайный процесс, поскольку некоррелированность значений и для любых ведет в этом случае к их статистической независимости.

Пример 7.4.4. Не менее часто используется ковариационная функция

(7.4.3)

где через обозначена «треугольная» функция. За время корреляции удобно принять параметр Т. Такой ковариационной функцией может обладать, например, так называемый телеграфный сигнал (см. ниже п. 5).

2. Рассмотрим процесс, образованный квадратичным преобразованием гауссова стационарного случайного процесса . Положим для простоты среднее значение процесса равным нулю и будем считать заданной его ковариационную функцию . Для отыскания кумулянтных функций негауссова процесса

где , следует использовать формулы размыкания кумулянтных скобок вида , некоторые из которых приведены в (11.17). В результате получим

Сумма произведений , находящаяся в фигурных скобках, является функцией, симметричной относительно , и сами слагаемые и их число может быть определено из символических

диаграмм, где точки (вершины) означают моменты времени , а прямые линии, соединяющие точки и , представляют .

Таким образом, симметризация в фигурных скобках происходит по способам соединений вершин прямыми линиями. При этом к каждой вершине подходят только две прямые, причем так, что, двигаясь по ним, можно последовательно пройти все вершины.

Можно показать, что в фигурной скобке, соответствующей кумулянтной функции порядка , всего будет слагаемых.

Если все моменты времени равны: , то приходим к кумулянтным функциям двумоментного распределения негауссова стационарного случайного процесса . В этом случае нетрудно привести конкретные значения кумулянтных функций и для произвольного порядка. Так, например,

Кроме того,

где — некоторые числа. Полученные кумулянтные функции исчерпывающим образом представляют двумоментное распределение стационарного негауссова процесса .

Рис. 7.2. и Рис. 7.3.

Нетрудно записать уравнения изоковариант рассматриваемого процесса. Так, изоковарианта третьего порядка определяется выражением

Для частных случаев соответствующие графики изображены на рис. 7.2 и 7.3. Они описываются уравнениями

На этих изоковариаптах статистическая связь второго порядка уменьшается в раз. Согласно (7.3.8) времена статистической зависимости второго порядка равны соответственно

3. Большую роль в прикладной теории случайных процессов и их преобразований играет иегауссов стационарный совершенно случайный процесс с нулевым средним значением, обладающий кумулянтными функциями [5, 16],

(7.4.4)

Величины , называются коэффициентами интенсивности процесса. Если , то приходим к гауссову совершенно случайному процессу.

Основной особенностью случайного процесса, представленного кумулянтными функциями (7.4.4), является его сколь угодно большая «быстрота». Характерные времена, за которые исчезают его кумулянтные функции, т. е. времена статистической зависимости этого процесса, равны нулю. Назовем такой случайный негауссов процесс дельта-процессом. Очевидно, что он одновременно является и дельта-коррелированным процессом.

Дельта-процесс, как легко проверить, имеет бесконечно большие значения как самих кумулянтов, так и кумулянтных коэффициентов. По этой причине он «бесконечно далек» от гауссова процесса. В то же время можно построить и такой негауссов совершенно случайный процесс, для которого будет иметь место «конечное» отличие вероятностного распределения от гауссова, т. е. кумулянтные коэффициенты которого будут конечными величинами. Если, например, положить все кумулянтные функции нечетного порядка равными нулю, а четного порядка равными

(7.4.5)

то можно показать, что все кумулянтные коэффициенты будут конечны и равны:

4. Обратимся теперь к пуассоновскому случайному процессу. Таким процессом называется суперпозиция случайно возникающих независимо друг от друга импульсов, детерминированных или случайных по форме, число возникновения которых за единицу времени определяется распределением Пуассона. Пусть

(7.4.6)

Здесь — так называемый элементарный импульс пуассоновского процесса. Примем без потери общности, что для . Амплитуду элементарного импульса возникающего в момент времени полагаем случайной величиной с заданным вероятностным распределением. Если через обозначить среднее число возникающих импульсов за единицу времени, то вероятность возникновения импульсов внутри интервала времени дается распределением Пуассона:

(7.4.7)

Итак, пуассоновский случайный процесс , заданный формулами (7.4.6), (7.4.7), представляет собой случайную суперпозицию импульсов одинаковой формы, но случайной амплитуды. В принятых предположениях этот случайный процесс является сильно стационарным. Кумулянтные функции рассматриваемого пуассоновского процесса имеют вид [52]

(7.4.8)

Таким образом, задавая форму элементарного импульса , мы получаем исчерпывающую информацию о пуассоновском процессе. Именно этим и объясняется его широкое использование в в различных вероятностно-прикладных исследованиях. К тому же пуассоновский случайный процесс является хорошей моделью многих реальных физических случайных процессов, особенно шумов.

Если взять , , то (7.4.8), как легко видеть, переходит в (7.4.4) с . Это значит, что дельта-процесс можно рассматривать как сколь угодно быстрый пуассоновский процессе — суперпозицию случайно возникающих сколь угодно узких импульсов.

5. Еще одним интересным примером негауссового случайного процесса является телеграфный сигнал. Этот случайный процесс может принимать только два значения и , (рис. 7.4) с соответствующими вероятностями .

Таким образом, вероятностное распределение телеграфного сигнала есть распределение бинарной альтернативы [см. (2.6.9)]. Моменты перемены принимаемых значений случайны и не зависят друг от друга. Телеграфный сигнал может иметь различную «статистику» моментов , что приводит к различным кумулянтным функциям этого случайного процесса.

Рассмотрим симметричный телеграфный сигнал, для которого (рис. 7.5). Все нечетные кумулянты и кумулянтные функции такого телеграфного сигнала, как очевидно, равны нулю.

Рис. 7.4. и Рис. 7.5.

Если — вероятность перемен значений процесса за время — определяется законом Пуассона (7.4.7), где — среднее число перемен за единицу времени, то ковариационная функция такого телеграфного сигнала равна [53]

(7.4.9)

Если же, например, перемены знака могут происходить лишь в моменты времени, кратные , то [53]

(7.4.10)

Другим статистическим закономерностям перемены знака будут соответствовать другие виды ковариационных функций(см. § 14.6).

Все телеграфные сигналы обладают и рядом общих свойств. Так, в § 14.7 будет показано, что какова бы ни была ковариационная функция телеграфного сигнала, его кумулянтная функция четвертого порядка всегда будет равна

(7.4.11)

Однозначная взаимосвязь с ковариационной функцией существует и для других кумулянтных функций телеграфного сигнала. Так, например, можно показать, что для симметричного телеграфного сигнала все кумулянтные функции нечетного порядка равны нулю, в то время как