Глава 16. ИНЕРЦИОННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

16.1. Постановка задачи

1. В этой последней главе мы будем рассматривать нелинейное инерционное преобразование , представленное уравнением

(16.1.1)

Входной случайный процесс может иметь теперь любое время корреляции и, следовательно, любую ширину спектра мощности. Он также может быть и сколь угодно медленным случайным процессом.

Для возможности применения аппарата марковских процессов к анализу нелинейной системы (16.1.1) необходимо, чтобы воздействующий процесс являлся или марковским процессом, или его компонентой. При этом он может быть и иегауссовым.

Поскольку, однако, основная цель настоящей главы состоит в исследовании особенностей воздействия гладких шумов на нелинейную инерционную систему и, в частности, в выяснении тех условий, при которых входной процесс может быть заменен белым шумом, нам достаточно ограничиться случаем гауссова стационарного марковского процесса , положив его среднее значение равным нулю.

В этом случае дифференциальным уравнением для должно быть линейное уравнение

(16.1.2)

с гауссовым стационарным белым шумом интенсивностью среднее значение которого также равно нулю.

Стационарный марковский процесс, описываемый уравнением (16.1.2), имеет следующие значения ковариационной функции, спектра и дисперсии:

Поскольку этот процесс однозначно описывается всего двумя параметрами, то в качестве независимых заданных параметров выберем ширину и «высоту» его спектра, т. е. и .

2. Итак, нам предстоит отыскать статистические характеристики негауссова случайного процесса , его кумулянты и кумулянтные функции, а также спектр мощности и проанализировать их структуру и зависимости от параметров входного шума как для произвольной нелинейной функции , так и для некоторых ее частных случаев. Основное рассмотрение будет вестись в гауссовом приближении, а в отдельных случаях мы учтем и высшие приближения.