9.2. Моментные и кумулянтные функции производных

1. Пусть случайный процесс задан набором моментных и кумулянтных функций. Поставим задачу отыскания моментных и кумулянтных функций его производных. Усредняя (9.1.4) и принимая во внимание (9.1.3), найдем

Аналогичные выкладки приводят к

что эквивалентно

В общем случае

(9.2.1)

Таковы моментные функции производной случайного процесса Если учесть, что

то окажется, что операции дифференцирования и усреднения случайного процесса перестановочны:

В этом нет ничего удивительного, поскольку операция дифференцирования есть линейная операция.

Перейдем теперь к кумулянтным функциям. Вторая кумулянтная функция производной равна

Таким образом,

В общем случае при произвольном s [16]:

(9.2.2)

Подчеркнем, что совпадение формул дифференцирования моментных (9.2.1) и кумулянтных (9.2.2) функций также есть следствие линейности операции дифференцирования. Таким образом, операция дифференцирования перестановочна и с кумулянтной скобкой.

Используя полученные формулы многократно, легко найти выражение для моментных и кумулянтных функций -й производной случайного процесса:

(9.2.3)

Моменты и кумулянты одномоментного распределения производной получаются отсюда приравниванием аргументов в левой и правой частях:

(9.2.4)

Итак, для отыскания параметров даже одномоментного распределения производных необходимо знать многомоментное распределение самого случайного процесса.

2. Учитывая перестановочность оператора дифференцирования с кумулянтными и моментными скобками, легко найти моментные и кумулянтные функции и для совокупности любых производных любого числа случайных процессов:

Отсюда, в частности, следует, что (под далее понимаются как моментные, так и кумулянтные функции)

(9.2.5)

Параметры одномоментного, двумоментного и т. д. распределений совокупности любых производных любого числа случайных процессов получаются из найденных формул соответствующим приравниванием моментов времени в обеих частях формул, аналогично тому, как это сделано в (9.2.4).

3. Обратимся теперь к стационарным случайным процессам. Пусть — сильно стационарный случайный процесс, моментные и кумулянтные функции которого заданы . Чтобы перейти от частных производных к производным , необходимо произвести замену переменных . Принимая во внимание, что в переменная входит теперьтолько в виде разности получим

(9.2.6)

Это приведет к тому, что, например, формулы (9.2.1)(9.2.2) примут вид

(9.2.7)

Таким образом, случайный процесс также получился сильно стационарным. Следовательно, и при любом будет сильно стационарным процессом с моментными и кумулянтными функциями

(9.2.8)

Сильно стационарной будет и совокупность производных .

Если случайный процесс лишь слабо стационарен, то слабо стационарными будут как любые производные случайного процесса, так и их совокупность.

Если имеется сильно стационарная совокупность N случайных процессов, то

Отсюда следует, что набор любых производных стационарной совокупности случайных процессов будет также стационарен.

Полагая в этой формуле

получим для совокупности производных двух случайных процессов следующую формулу [ср. с (9.2.5)]:

(9.2.9)

4. Коммутативность оператора дифференцирования с моментными и кумулянтными скобками позволяет без труда получать формулы дифференцирования моментных и кумулянтных функций и по параметру, входящему в несколько аргументов этих функций.

Так элементарно, например, получаются следующие формулы для моментных скобок:

Эти же самые формулы справедливы и для кумулянтных скобок:

Если случайные процессы стационарны, то легко проверить спаведливость следующих соотношений:

Заменяя и в этих выражениях точки на запятые, получим аналогичные формулы и для кумулянтных скобок: