5.4. Эксцессное распределение

1. Эксцессное распределение определяется формулой

(5.4.1)

Оно может быть в соответствии с (1.2.9), (1.2.10) представлено также рядом Эджворта по производным гауссовой плотности вероятности:

(5.4.2)

2. Как уже указывалось, всякое негауссово модельное распределение на некотором множестве значений аргумента принимает отрицательные значения. Выясним на примере эксцессного распределения, насколько велико это множество и насколько большие отрицательные значения может принимать . Для этого рассмотрим симметричное эксцессное распределение

Рис. 5.1.

четвертый кумулянт которого должен согласно § 5.2 принимать только отрицательные значения. Вводя безразмерные переменные , получим

(5.4.3)

На рис. 5.1 показаны вычисленные с помощью ЭЦВМ графики безразмерной функции , определяемой формулой (5.4.3)в зависимости , для значений .

Для сравнения на этом же рисунке приведена кривая, соответствующая , т. е. гауссовому распределению. Как следует из приведенных графиков, во-первых, вид эксцессного распределения, действительно, заметно отличается от гауссова при . Во-вторых, отчетливо видно то множество значений , на котором эксцессное распределение становится отрицательным, и, в-третьих, также хорошо видно, что принимаемые отрицательные значения не столь велики. По отношению к максимальному значению они имеют порядок трех процентов, в то время как общая доля «отрицательной вероятности» даже для не превышает полутора процентов.

Таким образом, можно предполагать, что особенности модельных распределений, связанные с существованием «отрицательной вероятности» в том случае, когда их кумулянты подчиняются ограничениям, присущим вероятностным распределениям, вряд ли имеют особо существенное значение для определения интегральных статистических характеристик. Вместе с тем, несомненной является необходимость табулирования модельных распределений для различного набора кумулянтных коэффициентов чтобы в полной мере представлять опасности, связанные с отрицательной вероятностью, и более обоснованно использовать их для приближенного описания негауссовых распределений.

3. Интересно сравнить приведенный точный график эксцессного распределения с кривыми, получаемыми при аппроксимации этого распределения первыми членами ряда Эджворта. Симметричное эксцессное распределение (5.4.3) согласно (5.4.2) может быть представлено следующим рядом Эджворта:

(5.4.4)

При ограничении двумя и тремя членами этого ряд соответственно получим

где

На рис. 5.2 показаны кривые, соответствующие точному значению эксцессного распределения и его аппроксимации функциями и для частного случая .

Рис. 5.2.

Из сравнения этих графиков видно, что учет лишь первых трех членов ряда Эджворта дает результаты, сильно отличающиеся от точного распределения. Это отличие особенно сильно сказывается в неблагоприятную сторону в области отрицательных вероятностей, что может привести к большим ошибкам при нахождении различных средних.

Кроме того, учет трех членов ряда (5.4.4} не имеет каких-либо видимых преимуществ по сравнению с учетом всего лишь двух членов, ибо нельзя сказать, что «находится ближе» к , чем , скорее даже наоборот. Это может означать только одно — ряд Эджворта (5.4.4) плохо сходится. Для более или менее хорошего приближения к следует учитывать значительное число членов ряда. Последнее обстоятельство также подчеркивает преимущества работы с модельными распределениями вообще и с эксцессным распределением (5.4.1) в частности.