16.5. Структура высших кумулянтов

1. Исследуем высшие кумулянты марковской совокупности , заданной уравнениями

(16.5.1)

На основании (10.10.11) уравнения эволюции совместных кумулянтов имеют следующий вид:

(16.5.2)

Последнее слагаемое в правой части (16.5.2) отлично от нуля только для значений и в этом случае оно равно . Другими словами, интенсивность белого шума входит только в уравнение для . Поскольку дисперсию случайного процесса мы полагаем заданной, постольку уравнение для нее рассматривать не будем, и поэтому последнее слагаемое в (16.5.2) можно не учитывать. Тогда уравнения кумулянтов принимают вид

(16.5.3)

Найдем зависимость кумулянтов выходного процесса и времен их релаксации от характеристик воздействующего шума и параметра нелинейности системы . Для этого запишем уравнения (16.5.3) в безразмерной форме. Соотношения, определяющие установившиеся значения и , имеют вид

Анализируя их, нетрудно прийти к следующему представлению совокупности через безразмерные переменные :

(16.5.4)

Записывая кинетическое уравнение, например, для

и учитывая (16.5.4), легко найти переход от к безразмерному времени :

(16.5.5)

С помощью (16.5.4), (16.5.5) от (16.5.3) без труда переходим к следующим уравнениям для кумулянтов безразмерной марковской совокупности :

(16.5.3)

Здесь введен параметр

который показывает определяющее влияние индекса воздействующего шума [см. (16.4.7)] на численные характеристики как самих значении установившихся кумулянтов , так и их времен релаксации.

Поскольку воздействующий на нелинейную систему случайный процесс заменен безразмерным процессом , то его характеристики мы также полагаем заданными. Он является гауссовым, его среднее значение равно нулю, а дисперсия, как нетрудно найти из (16.5.4), определяется уравнением

Откуда получаем .

Таким образом, кумулянты совокупности равны

2. Итак, мы пришли к следующим точным выражениям кумулянтов случайного процесса :

где безразмерные кумулянты находятся из системы уравнений (16.5.6), в которую входят только численные коэффициенты. Времена релаксации этих кумулянтов равны , где набор чисел определяется системой (16.5.6). Таким образом, времена релаксации кумулянтов исследуемого немарковского процесса существеннейшим образом зависят как от параметра нелинейности системы, так и от параметров воздействующего шума.

Проанализируем теперь систему уравнений (16.5.6). Уравнения для кумулянтов случайного процесса имеют следующий вид:

(16.5.7)

В эти уравнения индекс шума не входит. Это значит, что он может оказывать влияние на только через посредство совместных кумулянтов, уравнения для которых таковы:

(16.5.8)

Вследствие симметричности входного шума и самой системы вероятностное распределение выходной переменной также будет симметричным. Это значит, что , и в (16.5.7) нас будут интересовать только четные значения .

3. Пусть индекс шума принимает малые значения, соответствующие . В этом случае установившиеся значения совместных кумулянтов согласно (16.5.8) будут определяться уравнениями

Соответственно все совместные кумулянты кроме ковариации, равны нулю. Это, в свою очередь, приводит нас к

(16.5.9)

Раскрывая эти кумулянтные скобки, получим уравнения для , в которые индекс шума не входит и которые дадут нам лишь численные значения . Это значит, что для малого индекса шума установившиеся значения кумулянтов равны

(16.5.10)

где последовательность представляет собой последовательность чисел, являющихся корнями бесконечной системы уравнений (16.5.9). Сравнивая (16.5.10) с (15.4.14), мы видим полное совпадение. Это значит, что условие является точным условием широкопо-лосности воздействия, а не только при ограничении рассмотрения гауссовым приближением.

4. Если индекс шума велик, так что производя аналогичные, хотя и более громоздкие выкладки, можно прийти к следующим значениям кумулянтов

(16.5.11)

Набор кумулянтов представляет собой последовательность чисел, являющихся корнями уравнений

(16.5.12)

Переменные введены соотношениями

Нетрудно убедиться в том, что значения кумулянтов (16.5.12) соответствуют квазистатическому приближению. В самом деле, если случайный процесс настолько медленен, что производной по времени в первом уравнении (16.5.1) можно пренебречь, то из и сразу же следуют (после приведения к безразмерным переменным) уравнения (16.5.12). Таким образом, во-первых, условие большого значения индекса шума является точным условием квазистатики, а не только в гауссовом приближении; во-вторых, при квазистатическом воздействии шума основной его характеристикой становится дисперсия, которая вместе с коэффициентом нелинейности системы полностью определяет все кумулянты негауссова случайного процесса .

Тем самым, полоса нелинейной системы, введенная в § 16.3 как и равная для данной конкретной системы За , играет свою основную роль в сравнении с полосой воздействующего шума при любой степени негауссовости исследуемого случайного процесса и при учете всех его кумулянтов, хотя вначале она была введена в гауссовом приближении.