4.4. Центральная предельная теорема

1. В теории случайных величин большую роль играет так называемая центральная предельная теорема теории вероятностей, которая рассматривает вероятностное распределение суммы сколь угодно большого числа взаимонезависимых случайных величин. Имеется обширная литература, посвященная различным аспектам этой теоремы (см., например, [13, 34, 42]). Мы изложим здесь ее в «кумулянтном представлении» [46]. Другими словами, условия, при которых центральная предельная теорема является справедливой, мы наложим на кумулянты случайных величин, в то время как обычно этим условиям подчиняют центральные моменты.

Итак, рассмотрим случайную величину , равную сумме N взаимонезависимых случайных величин, имеющих произвольные (в общем случае различные) вероятностные распределения

Пусть вероятностное распределение каждой случайной величины однозначно представлено набором ее кумулянтов

Введем нормированную сумму . На основании свойств кумулянтных скобок

Приняв во внимание (4.3.3), получим следующее выражение для кумулянтов нормированной суммы случайных величин при любых распределениях ее слагаемых :

(4.4.1)

2. Чтобы распределение нормированной суммы при стремилось к гауссовому, необходимо и достаточно, чтобы все высшие кумулянты этой суммы стремились к нулю, т. е. чтобы

(4.4.2)

Каков смысл условий Рассмотрим частный случай суммы одинаково распределенных случайных величин, для которых . Тогда из (4.4.1) следует, что

(4.4.3)

где - заданные конечные кумулянтные коэффициенты случайных величин. Следовательно, при и имеем . Таким образом мы получили так называемую теорему Линдеберга—Леви , например, : распределение нормированной суммы одинаково распределенных величин стремится к нормальному при .

Из (4.4.3) отчетливо видно, почему, собственно, . Потому, что возрастает при медленнее, чем . Это значит, что условие (4.4.2) выполнено, если высшие кумулянты суммы растут при не быстрее, чем .

Это имеет место для одинаково распределенных случайных величин, а также и тогда, когда различные случайные величины обладают примерно одинаковыми кумулянтами (для каждого значения ), т. е. когда в сумме нет таких слагаемых, которые бы существенным образом определяли значения кумулянтов суммы.

С другой стороны, условия центральной предельной теоремы будут выполнены и тогда, когда такие «выдающиеся» слагаемые в сумме имеются, но их вклад в кумулянты растет при возрастании N медленнее, чем .

Условия (4.4.2) будут выполнены и в том случае, когда все слагаемые, входящие в сумму, дают «равнозначный вклад» лишь в дисперсию суммы, так что при больших

в то время как вклад в высшие кумулянты у разных слагаемых может быть различным, лишь бы их суммы росли с ростом N не быстрее, чем .

Таким образом, достаточным условием справедливости центральной предельной теоремы теории вероятностей является практически важное условие «равноправного участия» всех слагаемых, входящих в сумму . Это условие объясняет большую физическую значимость этой теории при выяснении знаков распределения реально существующих случайных процессов.

3. Обратим теперь внимание на то, что при выполнении условий (4.4.2) к гауссову распределению стремится распределение случайной величины , а не величины , т. е. именно нормированная сумма при стремится быть гауссовой случайной величиной, а не просто сумма N случайных величин.

Это связано с тем, что при мы оставили фиксированными значения кумулянтов слагаемых, вследствие чего все кумулянты суммы могут возрастать (по модулю).

Наиболее сильно эта особенность проявляется при рассмотрении суммы случайных величин, обладающих устойчивыми распределениями. Пусть, например, все случайные величины , обладают распределениями Пуассона с одинаковым параметром . Тогда сумма будет обладать кумулянтами

т. е. иметь по-прежнему пуассоновское распределение (с параметром . Вместе с тем, высшие кумулянты нормированной суммы

будут стремиться к нулю при . Таким образом, при сколь угодно большом N обычная сумма будет иметь пуассоновское распределение, в то время как распределение нормированной суммы будет близко к гауссову.