13.3. Преобразование спектров инерционной системой

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение

(13.3.1)

и отыщем спектры установившегося случайного процесса , предполагая, что все спектры стационарного случайного процесса нам заданы.

Решение уравнения (13.3.1) для установившегося движения согласно (11.1.11) имеет вид

Решить поставленную задачу можно без труда двумя путями. Во-первых, можно воспользоваться полученным в § 12.1 выражением для связи кумулянтных функций процессов [см. (12.1.10)]:

Выполняя операцию преобразования Фурье от левой и правой части этого выражения и учитывая, что преобразование Фурье свертки есть произведение преобразований Фурье сомножителей, найдем

(13.3.2)

где согласно (11.2.8)

есть частотные характеристики высшего порядка линейной инерционной системы, обладающей переходной функцией .

Во-вторых, можно воспользоваться результатами предыдущего параграфа. Так как уравнению (13.2.6) соответствует преобразование спектров (13.2.7), то, следовательно, уравнению (13.3.1) будет соответствовать преобразование

Записывая это выражение в виде (13.3.2), мы найдем, что частотные характеристики высшего порядка линейной системы, соответствующей уравнению (13.3.1), равны

(13.3.3)

Полагая , получаем известный закон преобразования спектров мощности:

2. Обратимся к примеру преобразования спектров.

Пример 13.3.1. Рассмотрим линейную систему, описываемую дифференциальным уравнением первого порядка

В данном случае . Следовательно, спектральные плотности процесса следующим образом связаны со спектральными плотностями процесса :

Так, для

3. То, что частотные характеристики высших порядков линейной системы, согласно (11.2.8), являются с точностью до сомножителя коэффициентами Фурье временных моментных функций системы, позволяет без труда получать информацию о возможном виде высших спектральных плотностей какого-либо негауссова случайного процесса.

В самом деле, поскольку, согласно § 11.2, моментные функции системы обладают всеми свойствами кумулянтных функций, , а следовательно, и обладают всеми свойствами спектральных плотностей высших порядков стационарного случайного процесса. Отсюда на основании (13.2.8), (13.3.3) следует, в свою очередь, что последовательность спектральных плотностей

дающую исчерпывающую информацию о негауссовом случайном процессе, можно строить с помощью любых линейных операторов или .

Рассмотрим пример 13.3.1. Если взять значение , то на основании вышесказанного последовательность спектральных плотностей некоторого негауссова случайного процесса может иметь вид

(13.3.4)

Здесь — некоторые коэффициенты. Если их выбрать в виде , то на основании (13.3.4) и (8.3.6) легко сделать вывод о том, что построенный набор спектральных плотностей описывает негауссовый случайный процесс , связанный с дельта-процессом дифференциальным уравнением