10.4. Свойства приращений марковского процесса
1. Так как задание вероятностного распределения марковского процесса полностью определяет его последующее развитие, то легко понять, что приращения марковского процесса должны иметь какие-то особенности.
Пусть имеется марковский случайный процесс 
с одномоментным распределением 
и с плотностью вероятности переходов 
. Образуем приращение 
где 
. Вероятностное распределение этого приращения равно
(10.4.1)
Пусть теперь значение 
является фиксированным (детерминированным). В этом случае 
. Такое приращение будем называть локальным и обозначать 
. Из (10.4.1) находим, что распределение локального приращения марковского процесса есть не что иное, как вероятность переходов:
(10.4.2)
Эта формула с несколько другой стороны поясняет смысл вероятности переходов.
2. Полученное выражение (10.4.2) позволяет записать многомерное распределение марковского процесса (10.1.3) в виде
Записывая локальные приращения за неперекрывающиеся интервалы времени
легко обнаружить, вследствие распада многомерной плотности вероятности на произведение распределений, что локальные приращения марковского процесса статистически независимы.
В самом деле, рассмотрим марковский случайный процесс 
для четырех моментов 
. Образуем приращения 
Нетрудно записать двумерную плотность вероятности этих приращений:
Отсюда следует, что, вообще говоря, 
не распадается на произведение функции от 
и функции от 
, т. е. в общем случае марковский процесс не является процессом с независимыми приращениями.
Пусть теперь приращения будут локальными. Для этого зафиксируем 
и 
, положив 
. Тогда
что и означает статистическую независимость локальных приращений. Это утверждение становится особенно понятным, если учесть, что основной чертой марковского процесса является отсутствие последействия. Последнее, в данном случае, означает, что после фиксирования начального значения марковского процесса его последующее развитие совершенно не зависит от предыстории.
Для пространственно однородного марковского процесса статистически независимыми будут и обычные (нелокальные) приращения.
