4.5. Нелинейные преобразования

1. Когда речь заходит о нелинейных, преобразованиях случайных величин, ситуация существенно усложняется. Появляются особенности, которых не было раньше, и это сильно затрудняет отыскание статистических характеристик «выходных» переменных.

Основная особенность нелинейного преобразования — это то, что любой кумулянт или момент выхода в общем случае зависит от всех кумулянтов «входного» распределения. Возьмем, например, экспоненциальное преобразование , рассмотренное в примере 3.2.2. Согласно (3.2.7) даже первый кумулянт, выходной переменной определяется значениями всех кумулянтов .

С другой стороны, возрастают трудности вычисления выходных кумулянтов. Полученные в третьей главе кумулянтные уравнения позволяют сравнительно легко устанавливать связи входных кумулянтов лишь с моментами выходов. Так, если случайная переменная подвергается нелинейному преобразованию , то для моментов формулы дают уравнения вида

(4.5.1)

Для кумулянтов же выхода аналогичных уравнений у нас нет. Если пытаться их получить, то в общем случае мы придем к довольно громоздким и неудобным выражениям. Поэтому в этом параграфе мы ограничимся выводом и использованием подобных уравнений только для кумулянтов первых четырех порядков.

Вместе с тем, в § 4.7 мы получим более общие уравнения, связывающие кумулянтные скобки с кумулянтами входных случайных переменных, и с их помощью найдем формулы размыкания ряда кумулянтных скобок.

2. Прежде чем искать связь кумулянтов выхода с кумулянтами входа, заметим, что в состав кумулянтов, например, в

входит не только среднее значение, но и некоторая функция (в данном случае квадрат) от уже усредненной величины. Это значит, что мы должны искать производные по кумулянтам от среднего значения функций вида , где уже зависит в общем случае от всех . По этой причине формулы (3.2.2) — (3.2.6) не могут быть непосредственно использованы и требуют специального обобщения, которое мы сейчас и проведем.

Производную

можно записать в виде

(4.5.2)

В функцию кумулянты в явном виде не входят, поэтому

Итак,

(4.5.3)

Если в входит несколько усредненных функций , , , то вместо (4.5.3) придем к

Используя полученные формулы двукратно, найдем, например,

Заметим, что многократное использование формул (4.5.2),(4.5.3) ведет уже к довольно громоздким выражениям, и мы их приводить не будем, несмотря на то, что в принципе их получить несложно.

Несколько более простые выражения получаются, если в усредняемую функцию, кроме , входят не усредненные значения других функций, а кумулянты. В этом случае вместо (4.5.2) получим

(4.5.4)

Повторное использование этой формулы приводит к

3. Вернемся теперь к отысканию зависимостей кумулянтов случайной величины от кумулянтов входной переменной Так как кумулянты представляют собой комбинацию моментов, то на основании (1.2.4) легко записать их дифференциалы через дифференциалы моментов. Например, для первых четырех кумулянтов имеем

Отсюда, используя (4.5.3), найдем

(4.5.5)

Выделим из этих уравнений особо четыре формулы, связывающие средние значения и дисперсии:

(4.5.6)

Пример 4.5.1. Применим полученные формулы для нахождения первых четырех кумулянтов случайной величины, подвергшейся квадратичному преобразованию . Первый кумулянт находится элементарно (для простоты записи обозначим в этом примере как ). Структура последующих кумулянтов может быть записана сразу, исходя из их порядка, например,

Коэффициенты нетрудно найти с помощью формул (4.5.5):

Следовательно,

(4.5.7)

Аналогичный расчет приводит к

Полученные формулы означают, в частности, следующее. Если нас интересует, например, дисперсия квадратично-преобразованной произвольной случайной величины, то, согласно (4.5.7), искомая дисперсия будет определяться только первыми четырьмя кумулянтами входного распределения. По этой причине различные входные вероятностные распределения (различные по высшим кумулянтам: ) будут приводить к одному и тому же результату.

4. Нетрудно распространить полученные формулы дифференцирования по кумулянтам на функцию, зависящую от двух случайных величин: . Так, вместо (4.5.3) получим

(4.5.8)

Вместо (4.5.4) будем иметь уравнение

Также легко получить производные по кумулянтам и для функций, зависящих от большого числа случайных переменных. Так, например :