9.3. О дифференцируемости случайного процесса

1. Обсудим теперь условия дифференцируемости случайного процесса, т. е. условия существования его производной.

Случайный процесс , называется дифференцируемым в среднеквадратичном в точке , если (см., например, [38, 54])

(9.3.1)

существует и имеет конечную величину.

В том случае, когда случайный процесс является стационарным, (9.3.1) переходит в

Учитывая, что , мы получаем, что случайный стационарный процесс будет дифференцируемым в среднеквадратичном, если корреляционная функция его производной существует и конечна для всех .

2. Нетрудно убедиться в том, что случайные стационарные процессы с корреляционными функциями

являются дифференцируемыми в среднеквадратичном. В то же время случайные процессы с корреляционными функциями

(9.3.2)

(9.3.3)

(9.3.4)

не дифференцируемы в среднеквадратичном, поскольку в некоторых точках вторые производные корреляционных функций (9.3.2) - (9.3.4) обращаются в бесконечность.

Вместе с тем, эти корреляционные функции имеют, как уже говорилось, ранее, широкое употребление и адекватно представляют многие реальные случайные процессы. При этом часто возникают такие ситуации, когда процессы, претерпевая различные преобразования, при их прохождении через различные динамические системы подвергаются дифференцированию, и поэтому их производная столь же физически реальна, сколь и они сами. В этой связи становится очевидной необходимость «приобщения» подобных случайных процессов к «хорошим», т. е. к тем, которые можно было бы дифференцировать хотя бы в каком-нибудь смысле. Так возникает проблема расширения понятия диффс-ренцируемости случайного процесса.

3. Разберемся в причинах недифференцируемости случайного процесса. Согласно введенному определению дифференцируемое производная случайного процесса существует, если ее средний квадрат конечен. Поскольку производная сама есть случайный процесс, то это значит, что существование какого-либо случайного процесса мы связываем с конечностью его среднего квадрата.

Нетрудно видеть, что такое толкование существования случайного процесса весьма ограничено и заведомо не может нас удовлетворить. В самом деле, если придерживаться этого определения, то мы не можем считать существующим, например, дельта-коррелированный процесс с корреляционной функцией , поскольку его средний квадрат бесконечен. Тем самым, чтобы не впасть в противоречие, мы не имеем права работать с белым шумом и одновременно пользоваться дифференцируемостыо в среднеквадратичном.

Если теперь обратиться к случайным процессам с корреляционными функциями (9.3.2), (9.3.4), то легко понять, что их недифференцируемость связана с тем, что в составе корреляционных функций их производных опять же будет присутствовать дельтафункция, т. е. будет присутствовать белый шум. Следовательно, мы должны отказаться от ограничения, налагаемого дифференцируе-мостью в среднеквадратичном, если мы хотим сохранить возможность оперирования с белым шумом и связанными с ним процессами.

4. Будем считать случайный процесс существующим и тогда, когда его моментные и кумулянтные функции, будучи сингулярными, могут быть выражены через дельта-функции и их производные. В соответствии с этим будем говорить, что случайный процесс дифференцируем в обобщенном смысле [4], если корреляционная функция его производной, будучи сингулярной, содержит дельтафункцию или ее производные.

Такого обобщения дифференцируемости и существования случайных процессов совершенно достаточно для большинства прикладных задач, с которыми приходится сталкиваться, ибо все встречающиеся сингулярности, как правило, сводятся к дельта-функции и ее производным.

Пример 9.3.1. Пусть случайный процесс представлен корреляционной функцией (9.3.2). Тогда первая производная его корреляционной функции терпит разрыв при , следовательно, вторая производная в этой точке не существует, обращаясь в минус бесконечность. Вместе с этим, в точке вторая производная, а следовательно, и может быть представлена дельта-функцией:

Таким образом, случайный процесс с корреляционной функцией (9.3.2) как и белый шум, дифференцируемы в обобщенном смысле сколь угодно раз.

Пример 9.3.2. Рассмотрим случайный процесс с корреляционной функцией (9.3.4). Несмотря на то, что первая производная этой функции испытывает скачки, а вторая обращается в бесконечность в трех точках: , последняя может быть выражена через дельта-функции:

Следовательно, случайный процесс с корреляционной функцией (9.3.4) также диффереицируем в обобщенном смысле сколь угодно раз.