3.2. Кумулянтные уравнения

1. Рассмотрим каноническую форму вероятностного распределения , однозначно представленного набором кумулянтов , и какую-либо функцию случайной переменной . Среднее статистическое этой функции

(3.2.1)

если оно не равно нулю (как, например, для нечетных функций и четных распределений), очевидно, зависит в общем случае от всех кумулянтов распределения. Наша задача и состоит в том, чтобы отыскать эту зависимость [не производя интегрирования согласно (3.2.1)].

Дифференцируя обе части (3.2.1) по произвольному кумулянту и принимая во внимание (3.1.4), найдем

Многократно интегрируя по частям и учитывая, что плотность вероятности вместе со своими производными обращается в нуль на границах интегрирования, получим

Последний интеграл является средним значением производной от взятой нами функции .

Таким образом, мы получаем следующее основное и весьма важное для дальнейшего уравнение, связывающее среднее значение произвольной функции с кумулянтами распределения [30]:

(3.2.2)

2. Применяя полученное соотношение дважды, находим

В общем случае

(3.2.3)

Дальнейшее обобщение (3.2.2) на смешанные производные по разным кумулянтам также получается просто. Так, например,

(3.2.4)

Аналогично

(3.2.5)

Можно, наконец, записать в самом общем виде производную среднего значения произвольной функции по различным кумулянтам вероятностного распределения:

(3.2.6)

Уравнения назовем для определенности лянтными уравнениями. Они будут играть основную роль в изучении преобразований случайных переменных. При этом следует отметить, что кумулянтные уравнения дают нам в руки довольно удобный вычислительный метод, который мы сейчас проиллюстрируем двумя примерами.

Пример 3.2.1. Наиболее простой случай использования полученных формул — это почти мгновенное получение выражений моментов распределения через его кумулянты (см. (1.2.5)]. Так, например, коэффициент перед членом в сразу находится согласно (3.2.4):

С помощью (3.2.5) находим коэффициент перед :

Также просто находятся и коэффициенты разложения момента любого порядка по кумулянтам. В самом деле, общая структура момента -го порядка имеет вид

С помощью полученных формул находим

Гаким образом, момент следующим образом выражается через кумулянты:

Кумулянтные уравнения часто могут использоваться именно как дифференциальные уравнения для искомых средних значений. Наипростейший пример — это отыскание среднего значения экспоненциальной функции для произвольного распределения.

Пример 3.2.2. Пусть . Тогда (3.2.2) дает

Решением этого уравнения является выражение , где . Поскольку может быть любым, то приходим к

где — неизвестная постоянная величина. Чтобы ее найти, положим . Этому набору кумулянтов соответствует детерминированное значение . Следовательно, и

(3.2.7)

Заметим, что эта формула элементарно проверяется на основании (1.1.4) и (1.2.1), где следует положить .

3. При выводе кумулянтных уравнений мы основывались на канонической форме вероятностного распределения. Поэтому при использовании этих уравнений для отыскания зависимости статистического среднего от кумулянтов (или параметров) какого-либо конкретного вероятностного распределения следует сначала получить общую формулу , а затем уже придавать кумулянтам те или иные конкретные значения (или выражать их через параметры распределения).